Обозначим три наших последовательных члена  b₁, b₂, b₃  геометрической прогрессии как  a, aq, aq². Тогда, в соответствии с условием, имеем следующую систему уравнений (двух уравнений с двумя неизвестными):

                            a+ aq+ aq²= 357

                            aq² – a = 255

          Решим её, найдем, тем самым, все три члена прогрессии и, как следствие, искомую разность между первым и вторым её членами.

          Для решения делим первое уравнение на второе (получая уравнение с одним неизвестным) и находим, после ряда преобразований, решение полученной системы:

                            a(1 + q + q²)/[a(q² – 1)] = 357/255

                      <=>   (1 + q + q²)/(q² – 1) = 357/255 (=7/5)

                   <=>             5(1 + q + q²) = 7(q² – 1)

                      <=>    2q² – 5q – 12 = 0      q = (5±11)/4    <=>

                              q₁ = -3/2;  =>  a₁ = 255/(q₁² – 1) = 255/(9/4 — 1) =204

                              q₂ = 4;        =>   a₁ = 255/(q₂² – 1) = 255/(16 — 1) = 17

             В соответствии с этим, имеем 2 решения – две тройки чисел  a, aq, aq², составляющих геометрическую прогрессию:

                            (1)            +204,  -306,  +459

                            (2)                17,      68,      272

           И, наконец, находим искомые значения  b₁– b₂= a– aq   — для обоих вариантов решения:

                            (1)      204 – (-306) = 102

                            (2)        -51

        Уважаемый Clad! Когда просите помочь Вам, да еще и с условиями: "…обязательно", неплохо хотя бы говорить: "…Пожалуйста!"

***************************************** 

         Обозначим искомое двузначное число как mn (m – число десятков в числе, n – число единиц). Тогда по величине число  mn  равно  10m+n.

         Далее, условие, что число  10m+n  при делении на сумму цифр  (m+n)  дает частное 7, а остаток 6, можно записать в форме равенства:

                            10m+n= 7(m+n) + 6                                     (1)

         Аналогично, второе условие, что число  10m+n  при делении на произведение цифр  (m·n)  дает частное 3, а остаток 11, записывается как:

                            10m+n= 3mn+ 11                                        (2)

         Условия (1) и (2) можно рассматривать как систему уравнений для нахождения неизвестных значений  m и  n  (т.е. и числа, записываемого как  mn). Решаем её так.

         Раскрываем скобки в (1), упрощаем, получаем выражение  m  через  n:

                                             m= 2n+ 2,                                   (3)

и подставляем его в (2), получая в итоге квадратное уравнение относительно  n:

          10(2n+2) + n= 3n(2n+2) + 11    =>    2n²– 5n– 3 = 0      (4)

         Из двух решений уравнения (4)  n=(5±7)/4  подходит только одно, положительное:

                                 n= (5+7)/4 = 3

Откуда, в соответствии с (3), находим и m:

                                 m = 2n+2 = 2·3 + 2 = 8

         То есть найденные цифры  m=8  и  n=3  определяют и искомое число:  83.

        Перегруппировываем исходное выражение, затем используем формулы разности квадратов [a² – b² = (a-b)(a+b)], а также суммы первых n натуральных чисел (1+2+3+ … +n= n(n+1)/2):

   (2² + 4² + … +100²) – (1² + 3² + … +99²) =

       = (2² – 1²) + (4² – 3²) + … + (100² – 99²) =

          = (2-1)(2+1) + (4-3)(4+3) + … + (100-99)(100+99) =

                = 1(2+1) + 1(4+3) + … + 1(100+99) =

                        =(1+2) + (3+4) + … + (99+100) =

                             = 1+2+3+ … +100 = 100·101/2 = 10100/2 = 5050