Форофонтов Константин

Помощь в подготовке к ЕГЭ, ГИА по математике, экзаменам и зачетам по высшей математике. Решение задач школьной и вузовской программы. Цена договорная. Окончил Физический факультет МГУ им. Ломоносова.

Образование

Время консультирования

Не указано

Рассказать друзьям

Понравился эксперт? Порекомендуй друзьям в соцсетях.

Это легко проверить.

Проведем следующие преобразования указанного выражения:

n^2012 — 1 = (n^4)^503 — 1 = (n^4 — 1)((n^4)^502 + (n^4)^501 +… +(n^4)^2 + (n^4) + 1).В справедливости формулы a^k — 1 = (a-1)(a^(k-1) +… +1) легко убедится, просто перемножив скобки.То есть мы разложили выражение на множители. По условию, каждый их множителей должен быть степенью двойки.Достаточно рассмотреть лишь первый.n^4 — 1 = (n^2 — 1)(n^2 + 1) = (n-1)(n+1)(n^2+1)Получили очередные три множителя. Очевидно, что n-1 и n+1 могут быть степенью двойки только при n=3. Тогда (n^2 + 1) будет равно 10 — со степенью двойки и рядом не стояло.То есть для любого натурального n указанное выражение степенью двойки не является.

20.10.12
ответ эксперта
лучший ответ

Ответ очень прост и дан прямо в условии.

Нам нужно утроить количество воды при переливании. То есть конечное количество должно быть кратно 3м. Это 9, 12 или 15 литров (вариант с 9ю тривиален — переливаем из 4 в 2, а затем, полученные 6 литров в 3 — поэтому меньший ответ не расматриваем).Чтобы получить больше, нам нужно иметь ведра 8 или 10 литров (для получения 12 и 15ти литров соответственно). Но как раз эти числа мы получить никак не можем — т.к. они не делятся на 3.Объясню подробнее:в начальный момент все ведра наполнены меньше либо равно на 5 литров.И всюду количество литров в натуральных числах.Переливаем из ведра, в котором в два раза больше воды (то есть переливаем четное количество воды!). И получаем — обязательно! — утроенное количество воды: 6, 9 и тд. литров! Других количеств нам не получить, если их уже нет!Вывод: ведро 9 литров уже никуда не перелить — нечетно. Помимо 9ти литров, во всех ведрах может быть не больше 6ти литров. 4 или 5 литров нам не утроить, поскольку ведер по 8 и 10 литров нет и не будет.Ответ: 9 литров.К слову, даже если мы возьмем еще ведра с 6ю и 7ю литрами, то больше 9ти, как легко убедиться из этих рассуждений, мы не получим — у нас будет тот же набор чисел, меньших 8ми — нужных, чтоб получить 12, а там и 18.

20.10.12
ответ эксперта
лучший ответ
Вопрос задан анонимно
19.10.12

Заметим, что в правой части равенства — сумма кубов.
Она выражется формулой:

y^3 + 1=(y+1)(y^2-y+1)

То есть правая часть раскладывается на множители.

А раз левая часть делится только на множители вида p^k, значит и каждый из множителей правой части делится только на аналогичные числа.

1) В простейшем случае одна из скобок справа будет равна 1. Очевидно, что вторая (тк y+1 не меньше 2х)
Отсюда получаем, что y^2-y+1=1
То есть y=1. p^x=2, откуда и p=2, x=1.

Теперь нетривиальный случай.

2)
Раз каждая скобка делится на множители вида p^k, то их частное будет иметь точно такой же вид — p в некоей степени.

В связи с этим можем написать:

y^2-y+1=m(y+1), где за m обозначили p в некоей степени, не большей x, и предположили, что вторая скобка заведомо не меньше первой (легко убедиться, решив неравенство y^2-y+1>=y+1, что оно верно для y>=2. а y=1 мы уже рассмотрели)Теперь решим это уравнение, как квадратное.Дискриминант:D=(m+1)^2 +4m — 4 = m^2 + 6m — 3 = (m+3)^2 — 12.А ответ имеет вид: y=(m+1+_кореньD)/2 (1)Собственно, ответ получен, осталось выбрать из него натуральные числа.Раз все натуральны — дискриминант полный квадрат.То естьD=(m+3)^2 — 12=n^2(m+3)^2 =12+n^2Или, используя формулу разности квадратов:(m+3)^2-n^2 = (m+3+n)(m+3-n)=12. m и n — натуральные, то есть не меньше 1 (очевидно из предыдущих равенств). Значит первая скобка не меньше 5, и равна 6 или 12.Отсюда получаем 2 случая:1)m+n+3=6       m-n+3=22)m+n+3=12   m-n+3=1Из первого m=1, n=2Второй не имеет натуральных решений.То есть Дискриминант равен n^2=4Откуда, возвращаясь к решению уравнения (1) y=(m+1+_n)/2 = (2+_2)/2. y=2 или 0.

0 нам не подходит, тк y натуральное.Для y=2, p^x=9. Очевидно, p=3, как единственный простой множитель числа 9, тогда x=2Окончательный Ответ:p=2, x=y=1p=3, x=y=2

20.10.12
ответ эксперта
Форофонтов Константин
Рейтинг: 415
0 отзывов
0% положительных
15 ответов клиентам
5 лучших
от 0 до 1000 руб.
стоимость консультации
60 минут
консультация длится
5 лет 1 месяц на сайте
Заходил 4 года назад