Печально я гляжу на наше поколенье!

Его грядущее — иль пусто, иль темно,

Меж тем, под бременем познанья и сомненья,

В бездействии состарится оно.

Богаты мы, едва из колыбели,

Ошибками отцов и поздним их умом,

И жизнь уж нас томит, как ровный путь без цели,

Как пир на празднике чужом.

К добру и злу постыдно равнодушны,

В начале поприща мы вянем без борьбы;

Перед опасностью позорно малодушны

И перед властию — презренные рабы.

Так тощий плод, до времени созрелый,

Ни вкуса нашего не радуя, ни глаз,

Висит между цветов, пришлец осиротелый,

И час их красоты — его паденья час!

Мы иссушили ум наукою бесплодной,

Тая завистливо от ближних и друзей

Надежды лучшие и голос благородный

Неверием осмеянных страстей.

Едва касались мы до чаши наслажденья,

Но юных сил мы тем не сберегли;

Из каждой радости, бояся пресыщенья,

Мы лучший сок навеки извлекли.

Мечты поэзии, создания искусства

Восторгом сладостным наш ум не шевелят;

Мы жадно бережем в груди остаток чувства -

Зарытый скупостью и бесполезный клад.

И ненавидим мы, и любим мы случайно,

Ничем не жертвуя ни злобе, ни любви,

И царствует в душе какой-то холод тайный,

Когда огонь кипит в крови.

И предков скучны нам роскошные забавы,

Их добросовестный, ребяческий разврат;

И к гробу мы спешим без счастья и без славы,

Глядя насмешливо назад.

Толпой угрюмою и скоро позабытой

Нам миром мы пройдем без шума и следа,

Не бросивши векам ни мысли плодовитой,

Ни гением начатого труда.

И прах наш, с строгостью судьи и гражданина,

Потомок оскорбит презрительным стихом,

Насмешкой горькою обманутого сына

Над промотавшимся отцом.

Два основных процесса

Процесс авторегрессии. Большинство временных рядов содержат элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующим уравнением:

xt =  + 1*x(t-1) + 2*x(t-2) + 3*x(t-3) +… + 

Здесь:
                 - константа (свободный член),
 1, 2, 3   — параметры авторегрессии.

Вы видите, что каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты (случайное воздействие, ) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Требование стационарности. Заметим, что процесс авторегрессии будет стационарным только, если его параметры лежат в определенном диапазоне. Например, если имеется только один параметр, то он должен находиться в интервале -1<<+1. В противном случае, предыдущие значения будут накапливаться и значения последующих xt могут быть неограниченными, следовательно, ряд не будет стационарным. Если имеется несколько параметров авторегрессии, то можно определить аналогичные условия, обеспечивающие стационарность (см. например, Бокс и Дженкинс, 1976; Montgomery, 1990).

Процесс скользящего среднего. В отличие от процесса авторегрессии, в процессе скользящего среднего каждый элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок. В общем виде это можно записать следующим образом:

xt = µ + t - 1*(t-1) - 2*(t-2) - 3*(t-3) - ...

Здесь:
 µ                - константа,
 1, 2, 3  - параметры скользящего среднего.

Другими словами, текущее наблюдение ряда представляет собой сумму случайной компоненты   (случайное воздействие, ) в данный момент и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.

Обратимость. Не вдаваясь в детали, отметим, что существует «двойственность» между процессами скользящего среднего и авторегрессии (см. например, Бокс и Дженкинс, 1976; Montgomery, Johnson, and Gardiner, 1990). Это означает, что приведенное выше уравнение скользящего среднего можно переписать (обратить) в виде уравнения авторегрессии (неограниченного порядка), и наоборот. Это так называемое свойство обратимости. Имеются условия, аналогичные приведенным выше условиям стационарности, обеспечивающие обратимость модели.