Найти радиус - вопрос №102224

ВОПРОС:

Здравствуйте! Можно ли найти радиус окружности по длине хорды и дуги? или нужны дополнительные данные?

            ОТВЕТ:

Ничего дополнительного не нужно, решение задачи изложено ниже.

            РЕШЕНИЕ:

Разделим исходный сектор круга, ограниченного центром круга и концами хорды, на два одинаковых, проведя биссектрису центрального угла. Будем рассматривать далее один из них (любой из двух полученных) и соответствующий прямоугольный треугольник (с вершинами в центре круга, одним из концов хорды и её серединой).

Пусть, далее, α – острый угол этого треугольника с вершиной в центре круга, a – длина противолежащей стороны (катета) этого треугольника, b — длины соответствующей дуги окружности, r – её радиус (искомый). Отметим также, что a и b – заданные величины, равные половине длин исходных хорды и дуги соответственно.

Тогда, очевидно (из чисто геометрического рассмотрения), имеем:

αr = b                                                                     (1)

a/r = sin α                                                                (2)

            Это, по сути, запись двух определений: (1) – для длины дуги, (2) – для синуса угла. Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными (α и r). Явного (аналитического) решения она не имеет – возможно лишь численное решение (которое существует и единственно). Решать эту задачу в каждом конкретном случае – при заданных численных значениях a и b (точнее, как отмечено выше, – 2a и 2b) – можно двумя способами: «школьным» (геометрическим) и каким-либо численным методом.

                        «Школьный» метод:

            После несложных преобразований уравнения (1) и (2) можно переписать, например, в виде:

r = b/α                                                                   (1')

kα = sin α ,                                                              (2')

где  k = a/b. После этого строим графики функций  f1(α) = kα,  f2(α) = sin α  и находим точку их пересечения, что соответствует решению уравнения (2').

Отметим, что это пересечение (т.е. решение задачи) существует и единственно (и находится «недалеко» от начала координат): оба графика проходят через начало координат, причем второй (синусоида) выходит из начала координат под углом π/4 (=45o), первый (прямая) – под меньшим углом (поскольку  k = a/b < 1, т.к. a < b  –  хорда должна быть короче дуги).

Таким образом, из графика находим  α, а затем, используя уравнение (1'), и искомое значение радиуса  r.

            Численный метод:

Типичное численное решение такой задачи – каким-либо итерационным методом, например, методом Ньютона: дифференцируем и линеаризуем (по α)  уравнение (2'), задаём какое-нибудь начальное приближение αo для α (наиболее логично и просто взять αo = 0) и дальше итерационно находим решение α = α* с любой наперед заданной точностью. Далее, подставляя в уравнение (1') найденное значение угла α*, находим искомое значение радиуса r.

Можно чуть по-другому – чтобы сразу решать уравнение (задачу) относительно радиуса r (без промежуточного нахождения угла α = α*). Для этого, например, просто подставляем из (1) (или из (1'))  выражение для угла  α = b/r  в уравнение (2'), получив тогда уравнение относительно переменной r.

Далее также как и выше дифференцируем, линеаризуем (но уже не по α, а по r) и решаем полученное уравнение и задачу в целом.

Дано: длина дуги АВ=L; длина хорды AB = a; Найти:R-?

Решение:

1. Проведем радиус OT, который пересекает хорду АВ в точке P под прямым углом и делит её пополам (т.к. треуг АВО -равнобедренный). Также перпендикуляр TP к середине хорды делит пополам дугу AB, т.е. дуга AT = L/2

2. Найдем хорду АТ из ф-лы Гюйгенса (ф-ла дает приближенное значение с небольшой погрешностью 0,5%),

длина дуги AТ = 2*AT+1/3*(2*AT-AB) => хорда АТ=3/8*(1/3*a+L/2)

3. из треуг АРТ: sin(ATP)=AP/AT => угол АТР = arcsin(AP/AT) — все стороны знаем. можем посчитать

4. опустим перпендикуляр ОЕ на хорду АТ

5. из треуг ОЕТ: cos(ATP)=TE/TO => TO=R=(AT/2)/cos(ATP) — все значения знаем, можем найти радиус.

Возникнут вопросы — пишите

Браво, Slobodov A.A., блестящий ответ.

Успехов!