Обратные функции - вопрос №1234239

Обратные функции (Пример 3)Здравствуйте! Нам дана функция: f(x)=(х-1)²-2.Область определения в данном случае ограничена:(х≤1).Следовательно, у нас
есть только левая часть параболы,
вот она изображена на рисунке.Как видите, нам дана неполная парабола.Вот почему найти функцию, обратную данной будет несколько сложнее.Но мы трудностей не боимся, так что давайте найдем обратную функцию.И начнем мы с того, что вместо f(x) запишем у.Итак, у=f(x), а значит, у=(х-1)²-2,
и мы знаем, что это верно для всех значений х,
которые меньше или равны единице.Сейчас у выражен через х.Чтобы определить функцию, обратную данной,
нам нужно из этого равенства выразить х через у, то есть найти х.Мы должны ограничить значения у.Если мы посмотрим на график этой функции,
то, очевидно, что у принимает значения большие или равные минус 2.Давайте здесь в скобках так и запишем: у≥-2.Вот это у нас область значений данной функции,
то есть все значения, которые может принимать у.Итак, давайте найдем х.Все, что нам нужно, так это найти функцию,
обратную данной и убедиться в том,
что она подходит по области определения и области значений.Давайте прибавим к обеим частям выражения 2.У нас получится: у+2=(х-1)².Правильно, ведь -2+2=0.А теперь мы вернемся к ограничению значений у,
поскольку сейчас неясно, какие значения х и у нам необходимы.Итак, я запишу здесь: для у≥-2.Также в скобках мы можем записать, что х≤1.Мы еще полностью не выяснили, какие значения х и у нам нужны,
так что, пусть эти два условия побудут здесь.Что у нас здесь получается?
Чтобы найти х, нам нужно извлечь корень квадратный
из обеих частей равенства.Посмотрим на правую часть: здесь у нас получится:
(х-1), именно для этого мы и извлекали корень квадратный.Мы так и хотели, чтобы здесь у нас было простое выражение (х-1).А теперь вопрос: (х-1) – это положительное или отрицательное число?
Обратите внимание, здесь у нас ограничение значений х:
х должен быть меньше или равен единице.Следовательно, в данном случае мы имеем дело только с теми значениями х,
которые меньше или равны единице.А значит, вот это выражение будет отрицательным.Таким образом, мы должны взять отрицательный корень.Давайте здесь разберемся.Если, допустим, я возьму число минус 3, то (-3)²=9.Давайте извлечем квадратный корень из обеих частей этого равенства.Цель этого извлечения – вернуться к минус 3.Значит, если мы возьмем положительный корень квадратный, то у нас получится: 3=3.Но нам нужно вернуться к минус 3.Нам нужно получить отрицательный квадратный корень.Теперь вернемся к нашей функции.Здесь у нас выражение отрицательное,
следовательно, мы должны вернуться к этому выражению, то есть к (х-1).Итак, нам надо извлечь отрицательный квадратный корень
из обеих частей равенства.Каждый квадрат имеет два корня, положительный и отрицательный.Но в данном случае нам нужен отрицательный корень,
так как это выражение вот здесь у нас отрицательное.Итак, давайте извлечем отрицательный корень квадратный
из обеих частей равенства.Мы получим: -√(у+2) равно…,
а здесь я сделаю дополнительный шаг, чтобы вы все поняли, и запишу:
равно -√(х-1)²для у≥-2 и х≤1.Вот почему мы извлекали отрицательный корень квадратный.Далее мы переписываем левую часть без изменений: -√(у+2).А в правой части вместо -√(х-1)² мы записываем просто (х-1).Выражение (х-1) в квадрате имеет какое-то положительное значение.Отрицательный корень квадратный из этого выражения
является отрицательным числом, которое нужно возвести в квадрат.Здесь получится просто (х-1).Надеюсь, я вас не сильно запутала.Из этого вот квадрата
нам надо получить отрицательное, а не положительное значение,
поэтому мы записываем (х-1),
поскольку значение этого выражения отрицательное.А здесь мы должны дописать: для у≥-2.Итак, нам надо найти х, а значит,
давайте прибавим 1 к обеим частям равенства.Если мы прибавим 1 к обеим частям, то у нас получится:
-√(у+2)+1=х для у≥-2.Давайте теперь это запишем в стандартном виде:
х=-√(у+2)+1 для у≥-2.А если мы хотим записать это как обратную функцию f-¹(у),
то f-¹(у)=х, а значит, f-¹(у)=-√(у+2)+1 для у≥-2.Ну, а если нам надо это записать через х,
то есть переименовать f-¹(у) в f-¹(х),
то нам нужно все у- поменять на х.
Следовательно, f-¹(х)=-√(х+2)+1, для х≥-2.Теперь давайте нарисуем график обратной функции… До скорой встречи!

****************
Мне не понятен вот этот процесс, почему мы получили отрицательный квадратный корень? -√(у+2) ведь при х≤1 1-1 = 0, а 0 это не отрицательное число? помогите плиз: