Олимпиада по математике 7 класс! - вопрос №130127

Предполагаю, что необходимо выполнить некоторые уточнения, с учетом которых задача формулируется так:

решить систему уравнений

3a+3b+5c=11x,

9a+b+4c=11y

в целых числах относительно a,b,c.

Решение. Если по частям первое умножить на 3 и из него вычесть второе, то получится следствие

8b+11c=11(3x-y),

откуда следует, что число b должно делиться на 11

b=11p.

Тогда c=3x-y-8p.

Подстановка в первое уравнение полученных выражений b и c приводит к следующему уравнению

7p-3a=4x-5y

относительно целых чисел p и a.

Поскольку числа 7 и 3 взаимно простые, то следуя теореме Безу уравнение

7u-3v=1

относительно u и v единственное решение. И оно легко находится

u=1, v=2.

Тогда становится очевидным, что

p= 4x-5y,

a=2(4x-5y).

В результате выводится структура искомых чисел

a=2(4x-5y),

b=11(4x-5y),

c=3x-y-8p=39y-29x,

где x,y — целые числа.