Через точку Р медианы СС1 треугольника АВС проведены прямые АА1 и ВВ1 (точки А1 и В1 лежат на сторонах ВС и СА). Докажите,что А1В1 параллельна АВ - вопрос №1374648

В данной задаче необходимо использовать теорему Менелая. В результате рассмотрения двух треугольников получим соответственные равенства. Рассмотрим треугольник АВВ1. Точка С является точкой пересечения стороны треугольника АВ1. Согласно теореме Менелая получаем: (ВС1/С1А)*(ФС/СВ1)*(В1Р/РВ)=1. Т.к. С1-середина стороны АВ,, то (ВС1/АС1)=1, тогда наше равенство приобретает вид (АС/СВ1)*(ВР/РВ1)=1.
Аналогично рассматриваем треугольник А1АВ: (АС1/С1В)*(ВС/А1С)*(А1Р/РА)=1. Т.к. С1-середина стороны АВ,, то (АС1/ВС1)=1., т.е. ВС/А1С)*(А1Р/РА)=1.
Из этих равенств имеем (АС/СВ1)*(ВР/РВ1)=ВС/А1С)*(А1Р/РА)=1
домнажая и деля обе части равенство получаем следующее: (АС/В1С)*(А1С/ВС)=(А1Р/РА)*(РВ1/ВР)=1. следовательно (АС/В1С)*(А1С/ВС)=1 и значит (АС/В1С)=(ВС/А1С). 
Используя теорему Фалеса можно говорить о том, что две прямые при пересечении лучей угла отсекают пропорциональные отрезки, следовательно эти прямые параллельны. т.е. АВ||А1В1. ч.т.д.