Здравствуйте, помогите пожалуйста решить дифференциальное уравнение : (x-y)ydx - x^2dy=0

Ответы

24.08.16
Здравствуйте!
Разрешим уравнение относительно производной (т.е. приведем к виду y' = f(x)):

x^2 * dy = (x — y) * y * dx
dy/dx = y' = (x — y) * y / x^2
y' = y / x — (y / x)^2

Т.к. получилось уравнение вида y' = f(y/x), то это однородное уравнение. 
Решаются такие уравнения заменой y = t * x
y' = t' * x + t

Подставляем новые переменные в уравнение:
t' * x + t = t + t^2
t' * x = t^2
dt * x = t^2 * dx — получили уравнение с разделяющимися переменными, разделяем:
dt / t^2 = dx / x
Интегрируем правую и левую части:
-1/t = ln |C * x|
t = -1 / ln|C * x|
Возвращаемся к замене:
y / x = -1 / ln|C * x|
y = -x / ln|C * x|

Не забывайте оценивать ответы!
24.08.16
24.08.16
Рекомендуем личную консультацию

Самвел

Сейчас на сайте
помогу вам в решении задач по математике
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика