ПОМОГИТЕ !сформулируйте утверждения каждому из трех свойств параллелограмма вытекающие из этой теоремы .В результате у вас должно получиться теорема , содержащая четыре признака параллелограм

ГЕОМЕТРИЯ: если у четырехугольника
1) противолежащие стороны попарно равны, то он является параллелограммом .2) противолежащие углы попарно равны, то он является параллелограммом .
3) диагонали пересекаются и точкой пресечения делятся пополам, то он является параллелограммом .
4) сумма углов, прилежащие к любой стороне, равна 180градусам то он является параллелограммом .
ДОКАЖИТЕ: что каждое из сформулированных предложений верно
для доказательства утверждения нужно
1)воспользуйтесь третьим признаком равенства трехугольников
2)вспомнить, что сумма углов четырехугольника равна 360 градусам
3) воспользоваться первым признаком равенства треугольников
4) воспользоваться признаками параллельности прямых

Лучший ответ по мнению автора

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.



Теорема.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.



Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.
Δ AOD = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно, ∠ OBC = ∠ ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.

Теорема.

Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.



Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC.
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (∠ ADB = ∠ CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая).
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.

Теорема.

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.



Доказательство.

Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA.



Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º,
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB + #8736 ABC = 180 º и ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º.
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.
16.10.16
Лучший ответ по мнению автора
Рекомендуем личную консультацию

Маминов Сергей Валерьевич

Сейчас на сайте
Аспирант и учитель старших классов в средней общеобразовательной школе. Диплом по специальности учитель математики и информатики. Магистр педагогики. Консультирую быстро, кратко, понятно, по существу вопроса. Если отсутствую пишите сюда: Могу помочь Узнать подробнее
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика