Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как правильно говорить "закручивание" или "завинчивание"? Если оба варианта существуют, то как правильно применять?

Употребляют оба варианта.
Закручивать гайки — сильно повышать требования, становиться более строгим. Имеется в виду, что лицо, группа лиц, социальная организация стремится установить жёсткий порядок, суровую дисциплину, притесняя, подавляя свободу тех, кто этому мешает, противится.

Завинчивать гайки— ужесточать режим, вводить строгую дисциплину.

Р.S. Уважаемые клиенты, не забывайте оценивать ответы наших экспертов, которые потратили свое время и свои профессиональные знания, чтобы ответить на ваши вопросы. Отметьте, пожалуйста, лучший ответ звёздочкой