Последовательность положительных чисел an такова, что для любых m, n выполнено неравен- ство am+n 6 an + am. Докажите, что последовательность

an n имеет предел и он равен inf n ∈ N an n.
Вопрос задан анонимно
20.09.16
1 ответ

Лучший ответ по мнению автора

Предел последовательности – это число, в окрестности которой содержатся все члены последовательности.Пример: Пределом последовательности чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и т.д. является 0.
Пояснение: ряд чисел стремится к нулю и ниже нуля не опустится.
Не любая последовательность имеет предел. К примеру, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. бесконечна и не имеет предела.Свойство последовательности иметь или не иметь предел называется сходимостью. Если у последовательности есть предел, то говорят, что она сходится. Если у последовательности нет предела, то говорят, что она расходится.

  Случай, когда последовательность не имеет предела.Если |q| > 1, то последовательность yn = qn расходится и не имеет предела.Пример: Пусть q = 3. Тогда мы можем создать следующую последовательность чисел:32; 33; 34; 35; 36; 37 и т.д. Ряд стремится к бесконечности. Предела нет. Виды последовательности.Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.Для любого n выполняется неравенство yn ≥ mПоследовательность (yn) называется ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.Для любого n выполняется неравенство yn ≤ МЕсли каждый член последовательности yn больше предыдущего, то это возрастающая последовательность.Если а > 1, то последовательность yn = an возрастает.

Пример: y1 < y2 < y3 < y4 < y5…Если каждый член последовательности меньше предыдущего, то это убывающая последовательность.Если 0 < a < 1, то последовательность убывает.
Пример: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… Теорема.Если lim  xn = b,  lim  yn = c, то
        n→∞          n→∞1) предел суммы равен сумме пределов: lim  (xn + yn) = b + c
n→∞
2) предел произведения равен произведению пределов: lim  (xn yn) = bc
n→∞
3) предел частного равен частному пределов: lim  (xn/yn) = b/c, при c ≠ 0
n→∞
4) постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim  (kxn) = kb
n→∞ Пример 1: Найти предел последовательностиdn = 6/n – 4/n2 + 8.Решение: lim  6/n – lim  4/n2 + lim  8 = 0 – 0 + 8 = 8.
n→∞      n→∞         n→∞Пример решен. Пример 2: Найти предел последовательности           2n2 + 3
  lim    ————
n→∞    n2 + 4

Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на n2, произведем сокращения и получим ответ:           2n2/n2  +  3/n2                    2  +  3/n2           2  +  0
  lim   ———————   =   lim   —————  =  ————  = 2.
n→∞   n2/n2  +  4/n2          n→∞   1  +  4/n2          1  +  0Пример решен.
16.10.16
Лучший ответ по мнению автора
Рекомендуем личную консультацию

Галина Владимировна

Сейчас на сайте
Галина Владимировна
Галина Владимировна
Эксперт месяца
Помощь в решении самых разнообразных задач по математическим дисциплинам, в том числе и вузовским. В личном чате бесплатные решения не даю, для этого пишите в общую ленту вопросов.
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика