Последовательность положительных чисел an такова, что для любых m, n выполнено неравен- ство am+n 6 an + am. Докажите, что последовательность

an n имеет предел и он равен inf n ∈ N an n.
Вопрос задан анонимно
20.09.16
1 ответ

Лучший ответ по мнению автора

Предел последовательности – это число, в окрестности которой содержатся все члены последовательности.Пример: Пределом последовательности чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и т.д. является 0.
Пояснение: ряд чисел стремится к нулю и ниже нуля не опустится.
Не любая последовательность имеет предел. К примеру, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. бесконечна и не имеет предела.Свойство последовательности иметь или не иметь предел называется сходимостью. Если у последовательности есть предел, то говорят, что она сходится. Если у последовательности нет предела, то говорят, что она расходится.

  Случай, когда последовательность не имеет предела.Если |q| > 1, то последовательность yn = qn расходится и не имеет предела.Пример: Пусть q = 3. Тогда мы можем создать следующую последовательность чисел:32; 33; 34; 35; 36; 37 и т.д. Ряд стремится к бесконечности. Предела нет. Виды последовательности.Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.Для любого n выполняется неравенство yn ≥ mПоследовательность (yn) называется ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.Для любого n выполняется неравенство yn ≤ МЕсли каждый член последовательности yn больше предыдущего, то это возрастающая последовательность.Если а > 1, то последовательность yn = an возрастает.

Пример: y1 < y2 < y3 < y4 < y5…Если каждый член последовательности меньше предыдущего, то это убывающая последовательность.Если 0 < a < 1, то последовательность убывает.
Пример: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… Теорема.Если lim  xn = b,  lim  yn = c, то
        n→∞          n→∞1) предел суммы равен сумме пределов: lim  (xn + yn) = b + c
n→∞
2) предел произведения равен произведению пределов: lim  (xn yn) = bc
n→∞
3) предел частного равен частному пределов: lim  (xn/yn) = b/c, при c ≠ 0
n→∞
4) постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim  (kxn) = kb
n→∞ Пример 1: Найти предел последовательностиdn = 6/n – 4/n2 + 8.Решение: lim  6/n – lim  4/n2 + lim  8 = 0 – 0 + 8 = 8.
n→∞      n→∞         n→∞Пример решен. Пример 2: Найти предел последовательности           2n2 + 3
  lim    ————
n→∞    n2 + 4

Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на n2, произведем сокращения и получим ответ:           2n2/n2  +  3/n2                    2  +  3/n2           2  +  0
  lim   ———————   =   lim   —————  =  ————  = 2.
n→∞   n2/n2  +  4/n2          n→∞   1  +  4/n2          1  +  0Пример решен.
16.10.16
Лучший ответ по мнению автора

Владимир

Сейчас на сайте
Читать ответы

Александр

Александр
Александр
Эксперт месяца
Читать ответы

Михаил Александров

Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика