Решите уравнения и неравенства

1.2(sin^2)x-3cosx-1>=0
2.4(sin x/2)-3cosx+1>=0

3.sinx+cosx=cos2x

4.(sin^6)x+(cos^6)x=sin2x

Лучший ответ по мнению автора

1) sin^2(x)=1 — cos^2(x)
2 — 2 cos^2(x) — 3cos(x) -1=-2cos^2(x)-3cos(x)+1 >=0
D = 9 + 4*2 = 17
x1 = -(3+sqrt(17))/4  <-1;    x2 = -(3-sqrt(17))/4=( sqrt(17)-3)/4
(cos(x) + (3+sqrt(17))/4)*(cos(x) — (sqrt(17)-3)/4 ) >=0
первая скобка всегда положительна
cos(x) — (sqrt(17)-3)/4  >=0
 -arccos((sqrt(17)-3)/4 )+2*pi*k <=  x <= arccos((sqrt(17)-3)/4 ) + 2*pi*k

2) cosx = 1 — 2sin^2(x/2)
4sin(x/2) — 3*(1 — 2sin^2(x/2) ) +1 = 6sin^2(x/2)  + 4sin(x/2) — 2 >=0
D = 16 + 48 = 64
x1 = (-4 +8)/12 = 1/3      ;    x2 =  (-4-8)/12 = -1
(sin(x/2) — 1/3)*(sin(x/2) +1) >=0
вторая скобка на знак не влияет!
sin(x/2) — 1/3 >= 0
arcsin(1/3)+2pi*k  <=  x/2  <= pi — arcsin(1/3) + 2pi*k
2arcsin(1/3)+4pi*k  <=  x  <= 2pi — 2arcsin(1/3) + 4pi*k

3) cos2x = cos^2(x) — sin^2(x) = (cosx — sinx) * (sinx + cosx)
sinx + cosx — (cosx — sinx) * (sinx + cosx) = 0
(sinx + cosx ) * (1 + sinx — cosx) = 0
из первого x = pi/4 + pi*k
1 + sinx — cosx = 0
2sin^2(x/2) + 2sin(x/2)*cos(x/2) = 0
sin(x/2) = 0
x/2 = pi*k
x = 2pi*k
cos(x/2) = -1
x/2 = pi +2pi*k
x = 2pi+4*pi*k
ответ:
x = 2pi+4*pi*k
x = pi/4 + pi*k
x = 2pi*k


25.11.16
Лучший ответ по мнению автора

Другие ответы

4) распишем сумму кубов x^6 = (x^2)^3
(sin^2(x) + cos^2(x) )* ( cos^4(x) — sin^2(x)*cos^2(x) + sin^4(x) ) = sin2x
  cos^4(x) + 2 sin^2(x)*cos^2(x) + sin^4(x)  — 3sin^2(x)*cos^2(x) = sin2x
(cos^2(x)+sin^2(x))^2 — 3sin^2(x)*cos^2(x) = sin2x
1 — 3/4* sin^2(2x) — sin(2x) = 0
3sin^2(2x) + 4 sin(2x)   -  4  = 0
D = 16 + 48 = 64
x1 = (-4-8)/6 = -2 — не удовлетворяет  условию
x2 = (-4+8)/6 = 2/3
2x = arcsin(2/3) +2pi*k
x = arcsin(2/3)/2 + pi*k
25.11.16
Слишком большой объем
25.11.16
Рекомендуем личную консультацию

Галина Владимировна

Галина Владимировна
Галина Владимировна
Эксперт месяца
Помощь в решении самых разнообразных задач по математическим дисциплинам, в том числе и вузовским. В личном чате бесплатные решения не даю, для этого пишите в общую ленту вопросов.
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика