найти частное решение дифференциального уравнения... - вопрос №849251

найти частное решение дифференциального уравнения y"+py(штрих)+gy=f(x), удовлетворяющего начальным условиям y(0)=y0, y(штрих)=y(штрих)0. y"-5y(штрих)+6y=(12x-7)e^-x. y(0)=0, y(штрих)(0)=0

Лучший ответ по мнению автора

y''-5y'+6y=(12x-7)e.^-x

r.^2-5r+6=0

r1=5+7/2=6

r2=5-7/2=-1

y=C1e.^6x+C2e.^-x — общее решение

y0=xe.^-x(A0+A1x) — частное решение

y0'=e.^-x(A0+A1x)-xe.^-x(A0+A1x)+A1xe.^-x=e.^-x(A0+A1x-A0x-A1x.^2+A1x)=

=e.^-x(A0+(2A1-A0)x-A1x.^2)

y0''=-e.^-x(A0+(2A1-A0)x-A1x.^2)+e.^-x(2A1-A0-2A1x)=

=e.^-x(2A1-2A0+(A0-4A1)x+A1x.^2)

Подставляя y'', y' в исходное уравнение, получаем:

e.^x(2A1-2A0+(A0-4A1)x+A1x.^2)-5e.^-x(A0+(2A1-A0)x-A1x.^2)+6xe.^-x(A0+A1x)=(12x-7)e.^-x,

2A1-2A0+(A0-4A1)x+A1x.^2-5A0-(10A1-5A0)x+5A1x.^2+6A0x+6A1x.^2=12x-7

После преобразований имеем:

2A1-7A0+(12A0-14A1)x+7A1x.^2=12x-7

Тогда,

2A1-7A0=-7

12A0-14A1=12

7A1=0

Следовательно,

A1=0,A0=1

и

y0=xe.^-x

Решение дифференциального уравнения есть:

Y=y+y0=C1e.^6x+e.^-x(C2+x)

Из начальных условий определим С1 и С2:

C1+C2=0,

6C1-C2+1=0,

C1=-C2,

-6C2-C2+1=0,

-7C2=-1,

C2=1/7, C1=-1/7

Окончательное решение:

Y=-1/7e.^6x+e.^-x(1/7+x)

 

27.11.13
Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров

Эксперт месяца
Читать ответы

Андрей Андреевич

Читать ответы

Eleonora Gabrielyan

Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Пользуйтесь нашим приложением Доступно на Google Play Загрузите в App Store