Помогите пожалуйста : исследуйте кривую... - вопрос №903034

2x^2 + 2y^2 — 2xy — 2x — 2y + 1 = 0
Чтобы понять, какая это кривая, нужно избавиться от члена xy.
Для этого делаем замену с поворотом осей координат на угол а:
{ x = x'*cos a — y'*sin a
{ y = x'*sin a + y'*cos a
Подставляем
2(x'*cos a — y'*sin a)^2 + 2(x'*sin a + y'*cos a)^2 — 2(x'*cos a — y'*sin a)(x'*sin a + y'*cos a) -
— 2(x'*cos a — y'*sin a) — 2(x'*sin a + y'*cos a) + 1 = 0
Раскрываем скобки
2(x'^2*cos^2 a — 2x'y'*sin a*cos a + y'^2*sin^2 a) +
+ 2(x'^2*sin^2 a + 2x'y'*sin a*cos a + y'^2*cos^2 a) -
— 2(x'^2*sin a*cos a — x'y'*sin^2 a + x'y'*cos^2 a — y'^2*sin a*cos a) -
— 2x'*cos a + 2y'*sin a — 2x'*sin a — 2y'*cos a + 1 = 0
Приводим подобные
x'^2*(2cos^2 a + 2sin^2 a — 2sin a*cos a) + y'^2*(2sin^2 a + 2cos^2 a + 2sin a*cos a) +
+ x'y'*(-4sin a*cos a + 4sin a*cos a + 2sin^2 a — 2cos^2 a) +
+ x'*(-2cos a — 2sin a) + y'*(2sin a — 2cos a) + 1 = 0
Упрощаем
x'^2*(2 — 2sin a*cos a) + y'^2*(2 + 2sin a*cos a) + x'y'*(2sin^2 a — 2cos^2 a) +
+ x'*(-2cos a — 2sin a) + y'*(2sin a — 2cos a) + 1 = 0
Коэффициент при x'y' приравниваем к 0
2sin^2 a — 2cos^2 a = 0
(sin a — cos a)(sin a + cos a) = 0
1) sin a — cos a = 0, sin a = cos a, a = pi/4, sin a = cos a = 1/sqrt(2)
2) sin a + cos a = 0, sin a = -cos a, a = -pi/4, sin a = -1/sqrt(2), cos a = 1/sqrt(2)
Подставляем синусы и косинусы обратно в уравнение
x'^2*(2 — 2sin a*cos a) + y'^2*(2 + 2sin a*cos a) + x'y'*(2sin^2 a — 2cos^2 a) +
+ x'*(-2cos a — 2sin a) + y'*(2sin a — 2cos a) + 1 = 0
Получаем
1) x'^2*(2 — 2*1/sqrt(2)*1/sqrt(2)) + y'^2*(2 + 2*1/sqrt(2)*1/sqrt(2)) + x'y'*0 +
+ x'*(-2*1/sqrt(2) — 2*1/sqrt(2)) + y'*(2*1/sqrt(2) — 2*1/sqrt(2)) + 1 = 0
x'^2*(2 — 2/2) + y'^2*(2 + 2/2) — x'*4/sqrt(2) + y'*0 + 1 = 0
x'^2 — 2*sqrt(2)*x' + 2 — 2 + 3y'^2 + 1 = 0
(x' — sqrt(2))^2/1 + y^2/(1/3) = 1
Это эллипс с центром (sqrt(2), 0) и полуосями a=1, b=1/sqrt(3)
2) x'^2*(2 + 2*1/sqrt(2)*1/sqrt(2)) + y'^2*(2 — 2*1/sqrt(2)*1/sqrt(2)) + x'y'*0 +
+ x'*(-2*1/sqrt(2) + 2*1/sqrt(2)) + y'*(-2*1/sqrt(2) — 2*1/sqrt(2)) + 1 = 0
x'^2*(2 + 2/2) + y'^2*(2 — 2/2) + x'*0 — y'*4/sqrt(2) + 1 = 0
3x'^2 + y'^2 — 2*sqrt(2)*y' + 2 — 2 + 1 = 0
x^2/(1/3) + (y' — sqrt(2))^2/1 = 1
Это эллипс с центром (0, sqrt(2)) и полуосями a=1/sqrt(3), b=1
В общем, это один и тот же эллипс, только повернутый по-разному.