Доказать - вопрос №905399

f(x) = ax^2 — x + c
f(f(x)) = x
a(ax^2 — x + c)^2 — (ax^2 — x + c) + с =
= a(a^2*x^4 + x^2 + c^2 — 2ax^3 — 2cx + 2acx^2) — ax^2 + x — c + c =
= a^3*x^4 — 2a^2*x^3 + 2a^2*cx^2 + ax^2 — 2acx + ac^2 — ax^2 + x =
= a^3*x^4 — 2a^2*x^3 + 2a^2*cx^2 — 2acx + ac^2 + x = x
a^3*x^4 — 2a^2*x^3 + 2a^2*cx^2 — 2acx + ac^2 = 0
Если это уравнение 4 степени не имеет корней, значит возможно 2 варианта:
1) a > 0, то есть ветви параболы направлены вверх
Экстремумы функции (их в общем случае три) все больше 0.
2) a < 0, то есть ветви параболы направлены вниз
Экстремумы функции все меньше 0.

Чтобы найти Экстремумы функции, нужно производную приравнять к 0.
4a^3*x^3 — 6a^2*x^2 + 4a^2*cx — 2ac = 0
Делим все на 2а
2a^2*x^3 — 3ax^2 + 2acx — c = 0
Это кубическое уравнение должно иметь 3 корня.
Если a > 0, то два минимума и один максимум. Если a < 0, то наоборот.
Видимо, решив его и подставив x1, x2, x3 в исходное уравнение,
мы и получим ac > 1
Но вот как его решить, увы, я не знаю.

Узнал, как решить по-другому.

f(x) = ax^2 — x + c
f(f(x)) = x
a(ax^2 — x + c)^2 — (ax^2 — x + c) + с =
= a(a^2*x^4 + x^2 + c^2 — 2ax^3 — 2cx + 2acx^2) — ax^2 + x — c + c =
= a^3*x^4 — 2a^2*x^3 + 2a^2*cx^2 + ax^2 — 2acx + ac^2 — ax^2 + x =
= a^3*x^4 — 2a^2*x^3 + 2a^2*cx^2 — 2acx + ac^2 + x = x
a^3*x^4 — 2a^2*x^3 + 2a^2*cx^2 — 2acx + ac^2 = 0

Делим на а

a^2*x^4 — 2a*x^3 + ac*x^2 + ac*x^2 — 2cx + c^2 = 0

Раскладываем на множители

ax^2*(ax^2 — 2x + c) + c*(ax^2 — 2x + c) = 0

(ax^2 + c)(ax^2 — 2x + c) = 0

Оно не имеет решений, значит, оба квадратных тоже не имеют.

1) ax^2 + с = 0

x^2 = -c/a.

x^2 >= 0, поэтому -c/a >= 0, то есть а и с должны быть разных знаков.

При ac > 0, а тем более при ac > 1, решений не будет.

2) ax^2 — 2x + c = 0

D/4 = 1 — ac < 0 — тогда решений нет. Отсюда

ac > 1.