помогите!!!! - вопрос №18812

Оба интеграла вычисляются одним и тем же методом

Int(u,dv)=uv-Int(v, du).

В силу ограниченности изобразительных средств интегал от u по dv изображается функцией двух переменных Int(u,dv) со знаком дифференциала d.

Int( (4x^2+1)cos(x+pi/4),dx ) = Int( (4x^2+1),d sin(x+pi/4)  ) = (4x^2+1)sin(x+pi/4) -8 Int( x sin(x+pi/4), dx) 

Для нового интеграла снова применяется то же самое правило

Int( x sin(x+pi/4), dx) = -Int(x, dcos(x+pi/4) ) = -x cos(x+pi/4) + Int(cos(x+pi/4),dx)

Для оставшегося интеграла конечный вид уже очевиден

 Int(cos(x+pi/4),dx)=sin(x+pi/4) + C.

Осталось выполнить тривиальные подстановки.

Во втором интегале удобнее сначала выполнить замену переменных

arcsin x=y или, что то же самое x=sin y.

После замены можно воспользоваться приемом интегрирования по частям

Int(xarcsin(x),dx) = Int( y sin(y),d sin(y) )=1/2 Int(y, d (sin(y))^2)=1/2 y(sin(y))^2 — Int((sin(y))^2,dy).

Так как  (sin((y))^2=(1-cos(2y))/2, то 

Int((sin(y))^2,dy)= y/2 -1/2 Int(cos(2y).dy) ,

Int(cos(2y),dy)=1/2 sin(2y) + C.

И снова выполняя подстановки в обратном порядке получается результат в конечном виде.