(1-e^x)/(1+e^x)=-th(x/2)  Интеграл с такой подынтегральной функцией — уже почти табличный. И все вычисления значительно упрощаются.

Это совсем прпосто. Проведите диагональ и увидите, что она разделит четырехугольник на 2 треугольника. Они оказываются равными по признаку равенства треугольников. Отсюда и равенство углов непременно последует. Успехов!

Здравствуте, Светлана!

Эта задача, скорее из области тригонометрии, поскольку она сводится к тригонометрическому уравнению. И действительно, если биссектриса AD делит угол на две равные части, то и пусть он равен 2а. Тогда прилежащий катет АС=15cos(2a). В свою очередь, этот же катет AC=6/tg(a). Результате возникает уравнение

15cos(2a)=6/tg(a). Решение его ответит на все вопросы о треугольнике.

Успехов!

Здравствуйте!

Если провести радиусы из центров окружностей в точки касания, то возникнут 2 подобных прямоугольника. Составляя пропорцию получается расстояние от точки О до центра первой окружности, а далее — теорема Пифагора для гипотенузы.

Успехов!

y=c1 x^2+c2/x+c3.

Здравствуйте!

Завдання стає простий, якщо її умова запишемо у термінах невідомого першого з натуральних чисел

(x+x+1)^2=x^2+(x+1)^2+180.

Вирішуємо рівняння і отримуємо x=9. В результаті шуканими натуральними числами виявляються 9 і 10.

Успіхів!

Здравствуйте, Дарья!

Даю подскаку. 

cos4x=cos^2(2x)-sin^2(2x),

sin^2(2x)=4sin^2(x)cos^2(x).

Тогда правая часть исходногл уравнения

cos^2(2x)-2sin^2(x)(2cos^2(x)-1)=0

вследствие

2cos^2-1=cos^2(x)-sin^2(x)=cos2x

разлагается на множители

cos2x(cos2x-2sin^2(x))=0.

А далее все просто. Успехов!

Здравствуйте, Dana!

На Ваш ну очень взыскательный вкус предлагаю следующее аналитическое решение. Строим две окружности и строим все три возможные касательные и доказываем равенство

r1+d=s+r2,

где r1-радиус-вектор первой окружности, направленный из центра первой окружности в точку касания, d — вектор касательной из точки касания первой окружности в точку касания второй окружности, s — вектор изцентра первой окружности в центр второй окружности, r2 — радиус-вектор второй окружности из центра второй окружности в точку касания (в конец вектора d).

Так как касательная ортогональна радиусам-векторам, то скалярные произведения вектора касательной с радиусами-векторами равны нулю:

(d,r1)=0,

(d,r2)=0.

Кроме того сами радиусы-векторы параллельны, поэтому

(r2-r1,r2-r1)=(r2-r1)^2, где r2,r1 — длины соответствущих векторов r2,r1.

Алгебраическая интерпретация геометрической задачи закончена. Приступаем к вычислениям. Из первого равенства следует

s=d-(r2-r1).

Вычисляем квадрат расстояния между центрами окружностей

s^2=(s,s)=(d-(r2-r1),d-(r2-r1))=(d,d)-2(d,r2-r1)+(r2-r1,r2-r1)=d^2+(r2-r1)^2.

В последней части цепочки равенств учтены условия ортогональности и коллинеарности, которые упомянуты при интерпретации задачи.

Тогда выводится следствие

d^2=s^2-(r2-r1)^2,

что квадрат длины отрезка касательной между точками касания равен разности квадратов расстояния между окружностями и разности радиусов окружностей и, следовательно, величина постоянная для всех трех касательных.

Успехов!

Если необходимо приложить рисунки, то могу выложить на сайт mathege.info.

Здравствуйте, Дария!

Все очень просто! Умножаем обе части уравнение на 3 и получаем

2y+4+9y=15.

Вычитаем из обеих частей 4 и приводим подобные члены

11y=11. => y=1.

Успехов!

Здравствуйте, Lusya!

Если произведение чисел, написанных на доске, равно 2012, то такими числами могут быть только делители числа 2012. Раскладываем его на множители

2012=503*2*2*1.

Следовательно, числами на доске могут быть только 1, 2, 4, 1006. Число 2012 исключается, поскольку коликчество написанных чисел больше 1 и числа натуральные. Поскольку сумма чисел тоже 2012, то сумма из минимального коликчества делителей должна быть следующей

2012=1006+2+1+1+....+1, где 1004 единицы. Любая другая комбинация делителей лишь приведет к увеличению коликчества единиц.

Успехов!