математика - вопрос №110744

            Предисловие:  Увидел выше решение (правильное!) данного дифф. уравнения (от Максима) и позавидовал – стоит задача «найти решение» и Максим его реально находит, представляет его просившему о помощи и, что «супер», занимает у него всё это «решение» мизер – лишь четверть строчки (а, главное, по времени какая экономия!).  :-)

         Я, к сожалению, не знаю «мест», где Максим «находит» решения для этого (и не только) уравнения (вернее, находит не решения, а готовые ответы). А потому вынужден просто тупо решать это (и не только) уравнение, получая лишь на самой последней строчке то, что в вышеприведенном ответе можно увидеть сразу.  :-(

         (Максим, поделитесь, пожалуйста, секретом – где эти «места» с ответами?!  ;-)  Или это Ваши телепатические способности?  ;-))

                   РЕШЕНИЕ:

y'-3y/x=x                                                  (1)

         Метод решения: Это линейное д.у. 1-го порядка – неоднородное (с ненулевой правой частью). Оно решается т.н. методом вариации произвольной постоянной так:

         I) Составляется т.н. однородное д.у., соответствующее исходному (неоднородному) уравнению (1) (с нулевой правой частью). Получаемое д.у. – с разделяющимися переменными, потому легко решается – находится его общее решение (содержащее, в частности (что далее важно!), произвольную постояннуюС);

           II) Это общее решение подставляется в исходное, неоднородное д.у., причем "C" рассматривается в нём уже не как константа, а как неизвестная функция  C=C(x) (т.е. получаем д.у. относительно функции C=C(x)).

         Решив полученное д.у., т.е найдя функцию C=C(x), подставляем её (вместо константы C) в найденное выше общее решение однородного д.у. – это и будет искомое общее решение исходного д.у. (неоднородного).

                  Реализация метода решения задачи:

            I) Составим однородное д.у., соответствующее исходному (неоднородному) уравнению (1):

y'-3y/x=0                                                    (2)

         Дифф. уравнение (2) – уравнение с разделяющимися переменными:

=>  dy/dx = 3y/x    =>     dy/y = 3dx/x

Интегрируя последнее уравнение, имеем искомое решение уравнения (2):

ln y = 3ln x + C1     =>       y=Cx3                                                 (3)

где C– произвольная постоянная интегрирования.

         II) Полученное решение (3) подставляем в исходное уравнение (1), причем здесь считаем, что  C=C(x) – неизвестная функция (а не произвольная константа; но для краткости записываем эту C(x) просто как C):

y'-3y/x=x     =>      (Cx3)' – 3(Cx3)/x = x                                 (4)

         Дифференцируя в (4) первый член (как производную произведения) и упрощая второй, имеем:

(С'·x3 + C·3x2) – 3Сx2 = x      => (сокращаем  3Сx2) имеем далее:

С'x3 = x     =>       С'x2 = 1                 (dC/dx)·x2 = 1

   dC = dx/x2   =>   интегрируя, имеем:    C(x) = -1/x+ C          (5)

         Полученное решение (5) для искомой функции  C(x)  (при этом C в правой части – снова произвольная постоянная) просто подставляем в полученное выше уравнение (3):

y=C(x)·x3 =(-1/x + C) x3= Cx3 — x2

т.е. получаем, тем самым, искомое решение исходного д.у. (1).

Здравствуйте!

Действительно, общее решение этого дифф. уравнения y(x) =Cx3 — x2

Александр, думаю, что Максим поступает мудро. И его секрет очень прост: он решает это уравнение (или находит уже готовое решение, если имеет его или знает, где найти) и выдает ответ. То, что и требовалось в вопросе. Ни больше, ни меньше.

Если задавшему вопрос нужно решение, а не только ответ, он обратится к Максиму в чат, и они договорятся о стоимости этой работы. Считаю, что  этому всем нам, экспертам неплохо было бы поучиться.

Зачем эксперты на этом сайте? Чтобы показать всем, какие мы умные? Нет, чтобы зарабатывать деньги, продавая свои знания и опыт. Тому, кто в них нуждается.

И это нормально — ведь мы тратим свое личное время, роемся в справочниках и в выдаче поисковых систем Интернета. И должны за это получать оплату.

Исключения, когда должно выдаваться решение задачи, а не только ответ:

1. Новички, у которых еще нет 300 баллов, чтобы брать деньги. И им нужно побыстрее набрать баллы и приобрести репутацию эксперта.

2. Когда задача несложная, не отнимает у нас много времени. Или когда за ее решение просто стыдно просить плату.

А насчет «мест», где находятся решения, то они существуют. И их можно найти в Интернете. Как рыбные места, которые знают опытные рыбаки.

Но это секреты ремесла. И ими некорректно делиться в общем разделе. Но можно обменяться приватно между коллегами в чате.

А студенты и школьники пусть сами порыщут в дебрях Интернета, где смогут найти то же, что им сообщат эксперты. И если найдут — честь им и хвала, ибо этот опыт останется с ними навсегда. Ради этого опыта они и учатся.

А если же студентам лень искать — то за поиск и решение я буду брать с них деньги. Потому что мне не лень. И я знаю, где искать и что. И еще я трачу на поиск решения время. А мог бы и отдохнуть...

Успехов!

Да, Павел, я совершенно не подумал о материальной стороне дела, о том, что это могло быть сделано Максимом осознанно! Просто, когда мне попадались на глаза приглашения в чат, это я понимал и не добавлял ничего от себя. А вот, что «вопрошающие» и сами, без приглашения эксперта, могут обратиться в чат (и, главное, что этого может ожидать сам эксперт), я, увы, почему-то не подумал.

Так что спасибо Вам большое, Павел, за подсказку, а Вам, Максим, если это всё действительно так, приношу свои искренние извинения (в т.ч., возможно, и за некоторые соображения в моем сегодняшнем приватном письме Вам  :-)).

Одно лишь могу сказать в свое оправдание – когда я писал о «местах, где находятся решения», то абсолютно ничего не имел в виду, ни на что не намекал, ни о чем не спрашивал (а попал, похоже, не в бровь… :-)). Просто я прикалывался, будучи уверенным, что Максим «на бумажке» быстро решил задачку, а послал лишь ответ, ибо тратить время на нормальное написание хода решения ему было просто неохота (о чем, кстати, и написал Вам, Максим, сегодня).

Мне и в голову не могло придти, что это можно найти в интернете (хотя, вспоминаю, слышал про всякие «решатели»; но, так понимаю, что на большее, чем на ответ, они, скорей всего, не способны — хотя бы потому, что, как правило, задачи и уравнения имеют несколько вариантов решения и неоднозначны по алгоритму). Потому, наверное, возможность такого «решения» для моего понимания была закрыта напрочь.

Ну а что касается Вашей, Павел, фразы "…выдает ответ. То, что и требовалось в вопросе", — боюсь, здесь Вы не правы. В вопросе ведь стоит "…найти решение" (а «ответ» и «решение», как говорят у Вас в Одессе, – две большие разницы :-)). И в этом неразрывном словосочетании  термин «найти» имеет, как хорошо известно, отнюдь не прямой бытовой (как Вы по сути пишите) смысл, а строго математический: «Найти решение» означает предложить строгую, обоснованную процедуру (алгоритм, кривую), соединяющую начальную точку (условие) с конечной (ответом). А не предлагать вместо требуемой кривой (хода решения) лишь одну её точку (ответ) – как это было сделано. Это ж аксиома, о которой и писать как-то даже неудобно! Вам ли, Павел, это не знать?!

Но всё же в главном здесь — что я невольно мог «навредить» Максиму – Вы, Павел, безусловно правы, и я очень сожалею, Максим, если могло быть так (а Вы мне сами сразу бы об этом и написали (раз я такой непонятливый  :-(  )?!).

Александр, пока нас не забанил модератор, предлагаю впредь подобные полемические проблемы решать через почту или в чате.

Успехов!