Для каких двуцифровых чисел сумма куба цифры единиц и квадрата цифры десятков равна самому числу? - вопрос №1150510

пусть а- число десятков,
в- число единиц,
10а+в- искомое число
10а+в=а^2+в^3
10а-а^2=в^3-в
 а(10-а)=(в-1)в(в+1)
В левой части имеем произведение трех последовательных натуральных чисел, поэтому произведение их может быть равно одному из случаев:
1*2*3=6, т.е. в=2
2*3*4=24, т.е. в=3
3*4*5=60, т.е. в=4 и т.д.
При а=1 а(10-а)=9- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=2 а(10-а)=16- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=3 а(10-а)=21- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=4 а(10-а)=24- такое произведение последовательных натуральных чисел есть при в=3
При а=5 а(10-а)=25- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=6 а(10-а)=24- такое произведение последовательных натуральных чисел есть при в=3
При а=7 а(10-а)=21- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=8 а(10-а)=16- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=9 а(10-а)=9- такого произведения последовательных натуральных чисел нет

Ответ числа 43 и 63

таких двуцифровых чисел нет. Могу строго доказать! 

Исправил опечатки (выделено жирным шрифтом):
пусть а- число десятков,
в- число единиц,
10а+в- искомое число
10а+в=а^2+в^3
10а-а^2=в^3-в
 а(10-а)=(в-1)в(в+1)
В правой части имеем произведение трех последовательных натуральных чисел, поэтому произведение их может быть равно одному из случаев:
0*1*2=0, т.е. в=1
1*2*3=6, т.е. в=2
2*3*4=24, т.е. в=3
3*4*5=60, т.е. в=4 и т.д.
При а=1 а(10-а)=9- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=2 а(10-а)=16- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=3 а(10-а)=21- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=4 а(10-а)=24- такое произведение последовательных натуральных чисел есть при в=3
При а=5 а(10-а)=25- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=6 а(10-а)=24- такое произведение последовательных натуральных чисел есть при в=3
При а=7 а(10-а)=21- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=8 а(10-а)=16- такого произведения последовательных натуральных чисел нет
При а=9 а(10-а)=9- такого произведения последовательных натуральных чисел нет

Ответ числа 43 и 63