уравнения - вопрос №142898

Здравствуйте, Ильяс!

Раскладывая свободный член 120=2 3 4 5, сразу можно заметить, что уравненение имеет корень x=1. Тогда по схеме обычного деления многочленовполучается равенство

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120=(x-1)(x^3+11x^2+46x+96).

Уравнение третьей степени 

x^3+11x^2+46x+96=0

может иметь целые решения лишь среди множителей свободного члена. И среди множителей находится решение

x=-6.

Снова используя схему деления

x^3+11x^2+46x+96=(x+6)(x^2+5x+16),

выделяется квадратный трехчлен, который имеет уже комплексные корни. При необходимости они легко вычисляются.

Успехов!

         Нетрудно заметить, что произведение 1-ой и 4-ой скобок левой части уравнения отличается от произведения 2-ой и 3-ой скобок на константу. Поэтому, приняв любое из этих произведений за новую переменную, превращаем исходное уравнение в квадратное – относительно этой новой переменной. Решив его, а затем и уравнение замены переменной (тоже квадратное), находим искомое решение исходного уравнения. Реализуем далее эту логику решения.

         Итак, в исходном уравнении:

                             (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120                                    (1)

произведем указанные выше преобразования:

             (1)   [(x+1)(x+4)]·[(x+2)(x+3)]=120 

                                  [x2+5x+4]·[x2+5x+6]=120                            (2)

           Сделав теперь в уравнении (2) замену переменной:

                                              y = x2+5x+5 ,                                     (3)

получаем:

         (y-1)(y+1)=120      y2-1=120       y1= 11,     y2= -11

         И тогда подстановка этих решений в (3) приводит к двум квадратным уравнениям:

                       x2+5x+5 = 11  <=>      x2+5x–6 = 0                       (4)

                     x2+5x+5 = -11   <=>     x2+5x+16 = 0 ,                   (5)

в совокупности эквивалентным исходному уравнению (1).

         Решение (4) дает 2 корня:

                                      x1 = -6,      x2 = 1,

а уравнение (5) вещественных корней не имеет (дискриминант отрицателен).

         Таким образом,  x1 = -6  и  x2 = 1  – искомые решения заданного уравнения (1).