Из натуральных чисел от 1 до 1907 Дима хочет выбрать несколько и выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырех идущих подряд чисел не делилась на... - вопрос №1643582

Рассмотрим получившийся ряд. Для удобства будем запишем новый ряд, состоящий из остатков при делении на 3 чисел из первого ряда.

Например, у нас получился ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Тогда второй ряд будет выглядеть так:

1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1.

Покажем, что во втором ряду не может быть 0.

Возьмем любые 5 последовательные числа, так, чтобы 0 был или первым или пятым, по условию сумма должна делиться на 3, но если, мы теперь возьмем 4 числа без этого крайнего 0, то сумма тоже будет делиться на 3, а этого не должно быть. Следовательно, во втором ряду есть только цифры 1 и 2 – т.е. в нашем ряду который мы ищем есть только числа, которые при делении на 3 имеют остаток 1 и 2.

Рассмотрим все возможные пятерки чисел из получившейся последовательности, состоящей из 1 и 2.

Возможны несколько вариантов

1)      Из 5 чисел все единицы, двоек нет, или зеркально – все двойки, единиц нет – т.е. все числа одинаковые, следовательно, вся последовательность будет состоять только из 2, или только из 1, следовательно, сумма любых 5 чисел не будет делиться на 3, что противоречит условию.

2)      Из 5 чисел 2 единицы и 3 двойки, или 3 единицы и 2 двойки, но тогда их сумма не будет делиться на 3, что противоречит условию.

3)      Из 5 чисел 1 двойка и 4 единицы, либо наоборот 1 единица и 4 двойки.

 Т.е. наш второй ряд выглядеть так:

111121111211112111121111211112…..

Или

222212222122221222212222122221…

 Как мы можем убедиться, эти ряды соответствуют нашему условию:

В любой пятерке сумма чисел или 6, или 9, т.е. число делится на 3

В любой четверке сумма чисел 4 или 5 (в первом ряду), или 8 или 7 (во втором ряду)

 Но какой же ряд будет длиннее? Проверим, каких же чисел больше, запишем все натуральные числа от 1 до 1907 в ряд и посмотрим.

(1,2,3)(4,5,6)…(1903,1904,1905),1906,1907

Как видим, чисел, которые имеют остаток 0 – 635 штук, 1 – 636 штук, 2-636штук (итого 635+636+636=1907 чисел). Следовательно, наши ряды вида

111121111211112111121111211112…..

Или

222212222122221222212222122221…

Будут одинаковыми по длине.

Рассмотрим первый из них.

Так как у нас всего 636 чисел, которые при делении на 3 дают остаток 1, то мы используем их все, а те которые дают остаток 2 – их в 4 раза меньше, т.е. мы используем только 159 чисел.

 Итого наш ряд будет состоять из 159+636=795 чисел

 Пример такой последовательности

 1 4 7 10 11 13 16 19 22 23 25 28 31 34 35…… 1897 1900 1903 1906 1907

 Ответ: 795 чисел может выбрать Дима.