4 пункт откуда единички там? Формула Эйлера 𝑒 𝑖ϕ = cos ϕ + 𝑖sin ϕ (1) Доказательство: Вспомним ряд Тейлора-Маклорена: 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + - вопрос №2499115

Формула Эйлера 𝑒 𝑖ϕ = cos ϕ + 𝑖sin ϕ (1) Доказательство: Вспомним ряд Тейлора-Маклорена: 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓 ′ (0) 1! 𝑥 + 𝑓 ′′(0) 2! 𝑥 2 +… + 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛! 𝑥 𝑛 +… = ∑︁ +∞ 𝑛=1 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛! 𝑥 𝑛 (2) Разложим по нему синус и косинус угла ϕ: sin ϕ = ∑︁ +∞ 𝑛=0 sin(𝑛) (0) 𝑛! ϕ 𝑛; cos ϕ = ∑︁ +∞ 𝑛=0 cos(𝑛) (0) 𝑛! ϕ 𝑛; (3) Можно выразить sin(𝑛) (0) и cos(𝑛) (0) через [𝑒 𝑖ϕ ] (𝑛) (пользуемся тем, что 𝑖 2 = −1): sin(𝑛) (0) = 1 − (−1)𝑛 2𝑖 [𝑒 𝑖ϕ ] (𝑛); cos(𝑛) (0) = 1 − (−1)𝑛+1 2 [𝑒 𝑖ϕ ] (𝑛) (4) Рассмотрим 𝑛-ный член разложения cos ϕ + 𝑖sin ϕ в ряд Тейлора-Маклорена: (𝑐𝑜𝑠ϕ + 𝑖sin ϕ)𝑛 = cos(𝑛) (0) + 𝑖sin(𝑛) (0) 𝑛! ϕ 𝑛 (5) Распишем производные синуса и косинуса по выкладке (4): cos(𝑛) (0) + 𝑖sin(𝑛) (0) = 1 − (−1)𝑛+1 2 [𝑒 𝑖ϕ ] (𝑛) + 1 − (−1)𝑛 2 [𝑒 𝑖ϕ ] (𝑛) = [𝑒 𝑖ϕ ] (𝑛) ( 2 − ((−1)𝑛+1 − (−1)𝑛) 2 ) (6) Для любых целых неотрицательных 𝑛 выполняется: (−1)𝑛+1 + (−1)𝑛 = 0.Получили: cos(𝑛) (0) + 𝑖sin(𝑛) (0) = [𝑒 𝑖ϕ ] (𝑛) (7) Доказали равенство соответствующих членов разложения в ряд Тейлора-Маклорена: (𝑐𝑜𝑠ϕ + 𝑖sin ϕ)𝑛 = (𝑒 𝑖ϕ )𝑛 (8) Доказали формулу Эйлера: 𝑒 𝑖ϕ = cos ϕ + 𝑖sin
Ответов пока нет

Андрей Андреевич

от 70 p.
Сейчас на сайте
Читать ответы

Михаил Александров

от 0 p.
Эксперт месяца
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan

от 0 p.
Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Пользуйтесь нашим приложением Доступно на Google Play Загрузите в App Store