x^2-2x*cos(Pi*x)+1=0. Необходимо понятное и подробное решение уравнения. Ответ есть: -1. Заранее спасибо за помощь! - вопрос №2819196

x^2 – 2x∙cos(π∙x)+1=0

В левой части уравнения прибавим и тут же вычтем cos^2(π∙x)

x^2 – 2x∙cos(π∙x) + cos^2(π∙x) – cos^2(π∙x)+1=0 

Далее сгруппируем:

(x^2 – 2x∙cos(π∙x) + cos^2(π∙x)) + (1 – cos^2(π∙x))=0 

(x – cos(π∙x))^2 + sin^2(π∙x) = 0

Т.о. в лев. части имеем сумму квадратов, т.е. сумму заведомо неотрицательных слагаемых.

Заметим, что сумма заведомо неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю, т.е. имеем систему (1) – (2):

(1)    sin^2(π∙x) = 0  <=>  sin(π∙x) = 0    <=>  π∙x = π∙n  <=>  x = n   =>  x= ±1,±2,±3,…

(2)    (x– cos(π∙x))^2 = 0    <=>  x– cos(π∙x) = 0     <=>    x= cos(π∙x)

 
Из (2)  =>   | x| ≤ 1, т.к. | cos(π∙x)| ≤ 1

Откуда получаем: х = 1 или х = – 1, т.к. согласно (1)  x= ±1, ±2, ±3, ….  

Заметим :  при этих значениях уравнение (1) выполняется.

Т.к. (1) – (2) – есть система уравнений, то оба уравнения должны выполняться при одних и тех же значениях переменной х. Проверим выполнение (2) при х = 1 и при х = – 1:

1)  х = 1 =>  1 = cos(π∙1)   =>  1 = – 1 – неверно   =>  х = 1 не является решением

2)  х = – 1 =>  – 1 = cos(π∙(– 1)   =>  – 1 = cos(– π) =>  – 1 = – 1 – верно    =>  х = – 1  является решением

Ответ:  х = – 1