Даны три вершины параллелограмма ABCD: A(−3;3;1) , B(−1;3;−1) , C(−2;7;−2). Определить: a) координаты четвертой вершины D; б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB; в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD. - вопрос №3134893

Даны три вершины параллелограмма ABCD: A(3;3;1)A(−3;3;1), B(1;3;1)B(−1;3;−1), C(2;7;2)C(−2;7;−2).

Определить:

a) координаты четвертой вершины D;

б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB;

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Лучший ответ по мнению автора

a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).

1 способ

AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2)
Пусть D(x;y;z), тогда координаты вектора DC=(-2 — x; 7 — y; -2 — z).
Тогда 
-2-x = 2
7-y = 0
-2-z = -2
Следовательно, x = -4, y = 7, z = 0, координаты точки D (-4, 7, 0).

2 способ
 
D=OA+BC=(-3;3;1)+(-2-(-1); 7-3; -2 — (-1))=(-3;3;1)+(-1; 4; -1) = (-4; 7; 0)

б) Длина высоты, опущенной из вершины D на сторону AB:
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2) (находили в первом пункте).
AD = (-4 — (-3); 7 — 3; 0 — 1) = (-1; 4; -1)
Векторное произведение ABxAD = 
изображение из вопроса
Площадь параллелограмма=|ABxAD|=изображение из вопроса=12
Высота=Площадь параллелограмма / основание 
Основание |AB|=изображение из вопроса
Высота = изображение из вопроса

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD
изображение из вопроса
Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10

Найдем модули векторов
изображение из вопроса
изображение из вопроса
Найдем угол между векторами:
изображение из вопроса
20.01.19
Лучший ответ по мнению автора

Другие ответы

a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).

1 способ

AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2)
Пусть D(x;y;z), тогда координаты вектора DC=(-2 — x; 7 — y; -2 — z).
Тогда 
-2-x = 2
7-y = 0
-2-z = -2
Следовательно, x = -4, y = 7, z = 0, координаты точки D (-4, 7, 0).

2 способ
 
D=OA+BC=(-3;3;1)+(-2-(-1); 7-3; -2 — (-1))=(-3;3;1)+(-1; 4; -1) = (-4; 7; 0)

б) Длина высоты, опущенной из вершины D на сторону AB:
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2) (находили в первом пункте).
AD = (-4 — (-3); 7 — 3; 0 — 1) = (-1; 4; -1)
Векторное произведение ABxAD = 
изображение из вопроса
Площадь параллелограмма=|ABxAD|=изображение из вопроса=12
Высота=Площадь параллелограмма / основание 
Основание |AB|=изображение из вопроса
Высота = изображение из вопроса

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD
изображение из вопроса
Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10

Найдем модули векторов
изображение из вопроса
изображение из вопроса
Найдем угол между векторами:
изображение из вопроса
20.01.19
Дополнение к ответу на в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.
Сократим дробь
изображение из вопроса

20.01.19

Евгений

Сейчас на сайте
Читать ответы

Михаил Александров

Эксперт месяца
Читать ответы

Андрей Андреевич

Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Пользуйтесь нашим приложением Доступно на Google Play Загрузите в App Store