здраствуйте, помогите пожалуйста решить пример:... - вопрос №827391

lim (n-> беск)((2n+1)/(2n+3))^(n^2+3n) =

=   lim (n-> беск)((2n+3-2)/(2n+3))^(n^2+3n) = 

  =   lim (n-> беск)((1-2/(2n+3))^(n^2+3n) =  

=   lim (n-> беск)((1-2/(2n+3))^(2n+3)(n^2+3n)/(2n+3) =

=  e^[(-2) lim (n-> беск) (n^2+3n)/(2n+3)] = 

e^[(-2) lim (n-> беск) (n^2+3n)/(2n+3)] = {e^(- беск)}=0

Буду благодарна, если отметите  

((2n+1)/(2n+3))^(n^2+3n)<=((2n+3)/(2n+3))^(n^2+3n)=1/(n^2+3n)<=1/n^2

ряд 1/n^2 сходиться как гармонический, значит исходный ряд сходиться по признаку сравнения

lim (n-> беск)((2n+1)/(2n+3))^(n^2+3n) =

=   lim (n-> беск)((2n+3-2)/(2n+3))^(n^2+3n) = 

  =   lim (n-> беск)((1-2/(2n+3))^(n^2+3n) =  

=   lim (n-> беск)((1-2/(2n+3))^(2n+3)(n^2+3n)/(2n+3) =

=  e^[(-2) lim (n-> беск) (n^2+3n)/(2n+3)] = 

e^[(-2) lim (n-> беск) (n^2+3n)/(2n+3)] = {e^(- беск)}=0

необходимое условие выполнено

используем признак Коши

  lim (n-> беск)корень степени n (((2n+1)/(2n+3))^(n^2+3n)) =

=  lim (n-> беск)((2n+1)/(2n+3))^(n+3) =

=  lim (n-> беск)((2n+3-2)/(2n+3))^(n+3) = 

  =   lim (n-> беск)((1-2/(2n+3))^(n+3) =  

=   lim (n-> беск)((1-2/(2n+3))^(2n+3)(n+3)/(2n+3) =

=  e^[(-2) lim (n-> беск) (n+3)/(2n+3)] = 

e^[(-2) *1/2] = e^(- 1)=1/e сходится