Дана система линейных дифференциальных уравнений... - вопрос №849793

1. dx/dt=3x-2y

dy/dt=2x+8y

Решим систему методом исключения. Для этого из первого уравнения выразим 2y:

2y=3x-dx/dt=3x-x'

Тогда,

dy/dt=(3/2)dx/dt-(1/2)d.^2x/dt.^2=(3/2)x'-(1/2)x''

Подставляя dy/dt и 2y во второе уравнение, получаем:

(3/2)dx/dt-(1/2)d.^2x/dt=2x+12x-4dx/dt

(1/2)x''-(11/2)x'+14x=0

x''-11x'+28x=0

r''-11r+28=0

r1=11+3/2=7

r2=11-3/2=4

x=C1e.^7t+C2e.^4t

y=(3/2)x-(1/2)x'=(3C1/2)e.^7t+(3C2/2)e.^4t-(7C1/2)e.^7t-(4C2/2)e.^4t

=2C1e.^7t-(C2/2)e.^4t

Таким образом, общее решение системы уравнения имеет вид:

y=2C1e.^7t-(C2/2)e.^4t, x=C1e.^7t+C2e.^4t

2. Выпишем матрицу:

А=(3,-2;2, 8)

Найдем корни ее харектиристического уравнения:

A-lI=(3-l, 2; 2, 8-l)

(A-lI)=(3-l)(8-l)+4=24-3l-8l+l.^2+4

l.^2-11l+28=0

l1=11+3/2=7, l2=11-3/2=4

Найдем координаты собственного вектора р1, соответствующего значению l1:

(A-l1I)(a1,b1)=(-4,2;2,1)(a1,b1)=0

-4a1+2b1=0, 2a1+b1=0

b1=-2a1,a1=1,b1=-2

p1=i-2j

Аналогичным образом находим координаты вектора p2:

(A-l2I)(a2,b2)=(-1,2;2,4)(a2,b2)

-a2-2b2=0, 2a2+4b2=0

a2=-2b2, b2=-1/2, a2=1

p2=i-j/2

Таким образом, общее решение имеет вид:

r(t)=C1e.^7t(i+2j)+C2e.^4t(i-(1/2)j)

или

x=C1e.^7t+C2e.^4t, y=2C1e.^t-(C2/2)e.^4t