Личная карточка (форма № Т-2) заполняется на работников всех кате­горий, включая временных и сезонных, основных и совместителей. Личная карточка является основным документом по учету личного состава.

Она ведется на протяжении всего периода трудовой деятельности ра­ботника у данного работодателя, начиная с приема на работу, и закрывает­ся только при увольнении. На работников, принятых на работу по граждан­ско-правовым договорам, личные карточки не ведутся.

Личная карточка № Т-2 относится к группе обязательных кадровых документов. Форма личной карточки унифицирована и относится к системе первичной учетной документации по учету труда и его оплаты, утвержден­ной Постановлением № 1.

Соответственно, Т-2 ведет сотрудник, ответственный за кадровый учет. Это должно быть прописано в должностной инструкции.
Где написано, что работник должен заполнять Т-2? В законе только приведен перечень документов, которые работник должен предоставить для трудоустройства, а обрабатывают их сотрудники, ответственные за это. На обработку своих персональных данных работник дает письменное согласие. 
Но когда Т-2 сформирована и распечатана, работник проверяет там правильность внесенных данных и ставит подпись на второй страничке.