Пусть х — первое число, тогда  (2/3)x — второе. Третье число: (2/3)x + 10, четвертое:  х + (2/3)x = (5/3)x.

        Далее, если, по условию, среднее арифмитичесоке всех четырех чисел равно 11,5  — то это тоже самое, что их сумма равна 11,5·4 = 46. Запишем это последнее условие о сумме 4-ех чисел:

                  х + (2/3)x + [(2/3)x + 10] + [х + (2/3)x] = 46

         Приводя подобные члены и решая, имеем:

               2х + (6/3)x + 10 = 46     =>      4x = 36    =>    x = 9

         Тогда, подставляя полученное значение  x = 9  в вышеприведенные выражения для каждого из этих чисел, получаем (последовательно — с 1-го по 4-ое):

                                   9,  6,  16,  15

          Обозначим три наших последовательных члена  b1, b2, b3  геометрической прогрессии как  a, aq, aq2. Тогда, в соответствии с условием, имеем следующую систему уравнений (двух уравнений с двумя неизвестными):

                            a+ aq+ aq2= 357

                            aq2 – a = 255

          Решим её, найдем, тем самым, все три члена прогрессии и, как следствие, искомую разность между первым и вторым её членами.

          Для решения делим первое уравнение на второе (получая уравнение с одним неизвестным) и находим, после ряда преобразований, решение полученной системы:

                            a(1 + q + q2)/[a(q2 – 1)] = 357/255

                      <=>   (1 + q + q2)/(q2 – 1) = 357/255 (=7/5)

                   <=>             5(1 + q + q2) = 7(q2 – 1)

                      <=>    2q2 – 5q – 12 = 0      q = (5±11)/4    <=>

                              q1 = -3/2;  =>  a1 = 255/(q12 – 1) = 255/(9/4 — 1) =204

                              q2 = 4;        =>   a1 = 255/(q22 – 1) = 255/(16 — 1) = 17

             В соответствии с этим, имеем 2 решения – две тройки чисел  a, aq, aq2, составляющих геометрическую прогрессию:

                            (1)            +204,  -306,  +459

                            (2)                17,      68,      272

           И, наконец, находим искомые значения  b1– b2= a– aq   — для обоих вариантов решения:

                            (1)      204 – (-306) = 102

                            (2)        -51

        Уважаемый Clad! Когда просите помочь Вам, да еще и с условиями: "…обязательно", неплохо хотя бы говорить: "…Пожалуйста!"

***************************************** 

         Обозначим искомое двузначное число как mn (m – число десятков в числе, n – число единиц). Тогда по величине число  mn  равно  10m+n.

         Далее, условие, что число  10m+n  при делении на сумму цифр  (m+n)  дает частное 7, а остаток 6, можно записать в форме равенства:

                            10m+n= 7(m+n) + 6                                     (1)

         Аналогично, второе условие, что число  10m+n  при делении на произведение цифр  (m·n)  дает частное 3, а остаток 11, записывается как:

                            10m+n= 3mn+ 11                                        (2)

         Условия (1) и (2) можно рассматривать как систему уравнений для нахождения неизвестных значений  m и  n  (т.е. и числа, записываемого как  mn). Решаем её так.

         Раскрываем скобки в (1), упрощаем, получаем выражение  m  через  n:

                                             m= 2n+ 2,                                   (3)

и подставляем его в (2), получая в итоге квадратное уравнение относительно  n:

          10(2n+2) + n= 3n(2n+2) + 11    =>    2n2– 5n– 3 = 0      (4)

         Из двух решений уравнения (4)  n=(5±7)/4  подходит только одно, положительное:

                                 n= (5+7)/4 = 3

Откуда, в соответствии с (3), находим и m:

                                 m = 2n+2 = 2·3 + 2 = 8

         То есть найденные цифры  m=8  и  n=3  определяют и искомое число:  83.

        Перегруппировываем исходное выражение, затем используем формулы разности квадратов [a2 – b2 = (a-b)(a+b)], а также суммы первых n натуральных чисел (1+2+3+ … +n= n(n+1)/2):

   (22 + 42 + … +1002) – (12 + 32 + … +992) =

       = (22 – 12) + (42 – 32) + … + (1002 – 992) =

          = (2-1)(2+1) + (4-3)(4+3) + … + (100-99)(100+99) =

                = 1(2+1) + 1(4+3) + … + 1(100+99) =

                        =(1+2) + (3+4) + … + (99+100) =

                             = 1+2+3+ … +100 = 100·101/2 = 10100/2 = 5050

                                x4 + x2 = 1

Обозначим  y=x2.  тогда исходное уравнение принимает вид:

                         y2 + y – 1 = 0     (y ≥ 0)

Решаем полученное квадратное уравнение:

                    y = [–1 ± √(1+4)] / 2 = (-1±√5)/2

          С учетом условия  y≥0  подходит только один (положительный) из этих двух корней:

                 y = (–1+√5)/2    =>   x = ±√y = ±√[(–1+√5)/2]

То есть здесь 2 решения:  x1 =   √[(–1+√5)/2] ≈   √0.618 ≈   0.786;

                                        x2 = –√[(–1+√5)/2] ≈ –√0.618 ≈ –0.786.

         Количество вылетевших электронов, в соответствии с 1-ым законом фотоэффекта (Столетова), определяется (строго пропорционально) только величиной потока электромагнитного облучения (света) - интенсивностью света, т.е. попросту количеством фотонов в потоке.

         А увеличение же частоты  ν  света означает, что число фотонов в потоке не меняется, а, в соответствии со 2-ым законом фотоэффекта,  растет лишь (линейно по частоте) кинетическая энергия  E  каждого фотона — в соответствии с формулой Планка:  E=hv  (v — это «ню»).

         Поэтому увеличение частоты падающего света  приводит лишь к соответствующему увеличению кинетической энергии  Wкин. «вырванных» из металла электронов — в соответствии с общим соотношением (здесь  Aвых. — работа выхода электрона):

                                      E ≡ hν = Aвых. + Wкин.

           И в итоге - одновременное увеличение частоты света (в 1.5 раза) и его интенсивности (числа фотонов — в 3 раза) приведет к увеличению числа вылетевших фотонов только за счет роста интенсивности — в 3 раза, т.е. равняться  3X  (но эти вылетевшие электроны будут обладать большей энергией — за счет роста частоты).

            Современные кодировки отводят сегодня (чаще всего) на один знак (символ) либо 1 (реже), либо 2 (чаще) байта. Если считать, что один знак занимает 2 байта (в универсальной системе Unicode) и вспомнить, что один байт это 8 бит (т.е 2 байта это 16 бит), то имеем (с учетом, что полторы минуты это 90 секунд) для искомого количества листов (страниц) текста:

                       x = (7200·90)/(16·2500) ≈ 16 (стр.)

                Если же считать, что на символ отводится 1 байт, то нетрудно получить, что будет 32 стр.

              Примечание: Остается лишь неясным, что имелось в виду под термином «лист» — то же ли, что и «страница». Если то же, то число страниц и листов совпадают. Если же на листе помещалось 2 страницы (двусторонний лист), то число листов будет, очевидно, вдвое меньше числа страниц.

           Вопрос касается т.н. явления фотоэлектронной эмиссии (внешнего фотоэффекта) — когда под действием потока электромагнитного излучения (света), падающего на поверхность металла, происходит испускание (вырывание) электронов с поверхности этого металла.

          Здесь проявляется двойная природа света — как потока частиц (фотонов), и как излученной волны. Суть явления заключается в том, что металл поглощает падающий свет — т.е. фотоны (из которых состоит свет), обладающие определенной энергией E. С другой стороны, свет (фотоны) — это электромагнитная волна с частотой ν («ню» — греческая буква) и при поглощении света (фотона) происходит поглощение и энергии фотона  E=hν (формула Планка).

          И именно поглощенные металлом фотоны света являются причиной вылета (вырывания) электронов из металла. При этом, в силу сказанного, вполне логичным выглядит утверждение, что число этих вырванных электронов пропорционально числу поглощенных фотонов.

          Ну и не менее очевидным теперь представляется другое утверждение — о пропорциональности числа этих поглощенных фотонов общему числу испущенных фотонов из источника излучения (света).

          И именно общая энергия переносимая всеми этими испущенными фотонами из данного источника света — [только проходящими (перпендикулярно) через площадку единичной площади (1 м2) и за единицу времени (1 с)] — и называется интенсивностью света I.

          По сути интенсивность света I  — это мощность источника света (лампочки), но отнесенная к единичной площади (размерность — Вт/м2). А для достижения максимального фотоэффекта необходимо, чтобы поток света был направлен на поверхность металла (из которого вырываются электроны).  При этом максимальная освещенность достигается при условии, что направление этого потока света будет строго перпендикулярно.

          Электромагнитные колебания (свет, в частности) характеризуются двумя основными параметрами — частотой ν  и амплитудой Eo колебаний. И если частота ν определяет спектр света (цвет), то интенсивность света I определяется исключительно амплитудой Eo электромагнитных колебаний — она пропорциональна квадрату амплитуды:    I ~ Eo2

            Интенсивность света — техническая характеристика мощности источника света, определяющая производные от неё и близкие величины — такие как сила света, яркость, освещенность.

        Найти предел:  lim x·ln2x  (при x --> 0)  по правилу Лопиталя.

                        Решение:

              lim x·ln2x = lim ln2x / (1/x) = lim (ln2x)' / (1/x)' =

                     = lim 2ln(x) · 1/x / (-1/x2) = -2·lim ln(x)/(1/x) =

                                = -2·lim (1/x) / (-1/x2) = 2·lim(x) = 2·0 = 0

(Здесь все пределы, по условию, при  x --> 0)