Если квартира была приватизирована в период брака, то она является совместно нажитым имуществом, т.е. принадлежит отцу и матери в равных долях. В случае смерти матери ее доля (половина) делится между наследникам первой очереди, к которой относятся супруг и дети, соответственно, и оформляется каждому ребенку по 1/12, а отцу 7/12, за счет имеющейся у него половины. Наследники вправе отказаться от доли в наследстве, тогда их доля делится между остальными наследниками. 

Составьте договор дарения денежных средств между вами и матерью, тогда часть имущества, пропорциональная подаренной сумме, не должна учитываться при разделе совместно нажитого имущества при разделе. Желательно в тексте также указать, что денежные средства предоставляются именно на покупку квартиры, на внесение первоначального взноса для получения ипотечного кредита. 

Существует распространенное заблуждение, что для выезда за границу РФ ребенку требуется согласие другого родителя, (нотариусы с удовольствием этим пользуются), на самом деле, такое согласие вовсе не требуется. Однако, один из родителей может подать заявление в пограничную службу о том, что против выезда зарубеж своего ребенка, тогда выезд может быть разрешен только по решению суда. Если у вашего ребенка нет официального отца, то никто, кроме вас, не имеет права запретить выезд за границу.