Проверьте, пожалуйста, правильно ли я решила!!! - вопрос №128545

Здравствуйте!

Пункт 4: в правой части раскрываем скобки и приводим подобные с одинаковыми степенями z и приравниваем их с соответствующими значениями левой части. Получим:

A+B+C=0 (при z^3)

-3A-3C+D=1 (при z^2)

-3A-4C-3D=-4 (при z)

-16A-B-4D=-6

Далее записываем матрицу из коэффициентов при A, B, C, D

 1    1  1   0   0

-3    0 -3  1   1

-3    0 -4 -3 -4

-16 -1   0 -4 -6

и решаем ее, к примеру, методом Гаусса. Но это, надеюсь, Вы сделаете сами.

Успехов!

P.S. Проверьте на всякий случай мои коэффициенты.

                                     По пункту 1)

         Целые делители свободного члена многочлена ищутся с целью проверки их как возможных корней многочлена и последующего разложения его на множители. Следует при этом помнить, что могут быть совершенно другие корни многочлена, не имеющие никакого отношения к целым делителям.

                                      По пункту 2)

         Следует добавить, что полное разложение многочлена только «на линейные неприводимые множители с действительными коэффициентами» здесь невозможно именно в силу наличия не только действительных, но также и комплексных корней многочлена.

                                       По пункту 3)

         Следует конкретно дописать, как получены приведенные корни уравнения  z2+z+1=0

                                        По пункту 4)

         Нахождение искомых коэффициентов  A, B, C, D  основано на свойстве тождественного равенства исходной дроби  g(z)/f(z)  и её разложения на простейшие дроби с указанными коэффициентами (одинаковые знаменатели в обеих частях уравнения опущены):

z2 – 4z – 6 = A(z–4)(z2+z+1) + B(z+1)(z2+z+1) + (Cz+D)(z+1)(z–4)  (*)

         Поэтому предлагаемый первым экспертом (Павлом Гусевым) метод, основанный на приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях в числителях дроби и разложения (в равенстве (*)) и решении получаемой отсюда линейной системы (методом Гаусса или каким-либо другим) является, безусловно, в целом достаточно общим, универсальным и наиболее часто используемым методом нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D.

         Можно, однако, использовать не следствие указанного тождественного равенства (*) – получение и решение указанной линейной системы, – а непосредственно само равенство. Если последовательно подставлять в рассматриваемое равенство  (*) найденные корни  f(z), то, как нетрудно видеть, будут также последовательно найдены значения искомых неопределенных коэффициентов (и фактически не придется иметь дело с системой уравнений). (Можно подставлять и любые другие числовые значения, но чисто технически получаемые уравнения будут тогда, как правило, несколько более громоздки и приводить уже к системе)

         Что, очевидно, несравненно менее трудоемкая процедура, чем традиционное составление, а затем еще и решение линейной системы (к сожалению, однако, этот метод не получил должного распространения – в обучении студентов, по крайней мере). Основная причина этой простоты и эффективности в том, что при подстановке корневого значения  z  все слагаемые разложения, кроме одного (отвечающего как раз взятому корню!), обращаются в ноль. И, тем самым, вместо системы, фактически сразу определяются искомые коэффициенты (последовательно).

         Следует отметить, что автор вопроса (Светлана) пошла по сути (возможно, чисто интуитивно) как раз по этому, более эффективному пути, но немного не довела его до конца. Если бы Вы, Светлана, подставили в уравнение найденные Вами не только вещественные корни (z = -1 и 4), но также и комплексные (даже лишь одно из этих сопряженных корней) – Вы бы точно так же получили весьма простые два уравнения (для вещественной и мнимой частей выражения) относительно двух оставшихся коэффициентов – C и D.

         По-видимому, Светлана, Вас смутило именно то, что оставшиеся 2 корня были комплексными, а не вещественными (сейчас, надеюсь, Вы бы в ступор от этого уже не встали  :-)). Однако и это не принципиально! Можно подставлять, как отмечено выше, в полученное уравнение любые числа, т.е. вместо одного этого комплексного корня можно подставить, в частности, какие-нибудь два «попроще» вещественных числа (помимо, конечно, уже ранее использованных корней).

         Например, в решаемом примере, если подставить последовательно в (*) значения, допустим (как одни из наиболее простых),  z=0  и  z=1, то, по сути устно, получаем соответственно:

                                       –6 = –4A + B – 4D

                                       –9 = –9A + 6B – 6(C+D)

         А эта система, с учетом полученных выше (самой Светланой) значений  A=1/5  и  B=–2/35, решается практически мгновенно (из первого уравнения сразу находим C, затем из второго – D) и также устно:

                                         C = –1/7,    D = 9/7

         Таким образом, задача решена, – как видим, более простым и эффективным методом, чем «стандартное» составление и решение системы линейных уравнений относительно всех неопределенных коэффициентов разложения рассматриваемой алгебраической дроби.

         P.S. Разумеется, полученные указанным методом значения искомых коэффициентов должны удовлетворять и приведенной первым экспертом линейной системе уравнений, полученной традиционным способом (сам не проверял, надеюсь, действительно удовлетворяют — если, конечно, нигде в арифметике я не наврал  :-)).