математика - вопрос №146415

       Ответ: 2 взвешивания

*********************************

        РЕШЕНИЕ:

        1. Делим все 2012 шариков (из которых, по условию, 1006 легких и 1006 тяжелых) на две равные (по количеству) кучки и взвешиваем. Если одна из чашек перевешивает — задача решена (как бы  :-)).

      2. Если весы останутся в равновесии, это означает, что в каждой кучке из 1006 шариков ровно по половине (т.е по 503) как легких, так и тяжелых. Делим любую из этих кучек пополам — на две кучки по 503 шарика, и взвешиваем.

      Утверждение. Эти две кучки по 503 шарика в равновесии не останутся.

      Доказательство. Предположим противное — эти кучки по 503 шарика остались в равновесии. Это тогда означает, что число, как легких, так и тяжелых шариков в этих кучках одинаково (число легких в одной кучке из 503 шариков равно числу легких во второй кучке из 503 шариков; то же справедливо и относительно тяжелых).

      Но тогда в двух этих кучках по 503 шарика, т.е. в исходной кучке из 1006 шариков, — общее число легких шариков будет четным (как сумма двух одинаковых целых чисел). То же справедливо и относительно тяжелых.

      Что противоречит полученному выше результату — в каждой из кучек по 1006 шариков будет по 503 и легких, и тяжелых.

       Таким образом, два взвешивания гарантированно обеспечивают выполнение требуемых условий (одно взвешивание, при любом количестве взвешиваемых шариков гарантировать, очевидно, это не может).

Замечательное решение, Александр!

Могу только дополнить, опираясь на Ваше доказательство. Т.е. на то, что после второго деления на каждой стороне веса кучек будет разным.

1. Делим шарики на две кучки по 1006 шариков и ложим на разные чаши весов. Если весы не в равновесии — задача решена. Если весы в равновесии, переходим к пункту 2.

2. Каждую кучку делим пополам, по 503 шарика: 2 кучки слева и две — справа. Берем по одной кучке с каждой из сторон и ложим на весы.

Если веса кучек не равны, меняем кучки местами и задача решена.

Если веса кучек равны, то меняем кучку на весах справа с кучкой на столе слева — и задача тоже решена.

Поэтому если не учитывать тривиального решения о равенстве веса кучек после первого деления и взвешивания, то минимальное число взвешиваний — два (2).