Главная arrow icon Вопросы arrow icon Учеба и наука arrow icon Математика arrow icon Для каждого натурального числа nнайти все…

Для каждого натурального числа nнайти все такие пары натуральных чисел х и у, что х в степени n минус у в степени n равно 2015 - вопрос №1597608

ТатьянаСеребряный
20.08.15
Учеба и наука / Математика
1 ответ

Лучший ответ по мнению автора
Для n=1,  x-y=2015 
 Решения    (x;2015-x)
 
 Для n=2\\
 2015 = 5*13*31*1 \\
 
 Совокупность систем  , только 
\left \{ {{ x-y=1} \atop {x+y=5*13*31}} \right. \\\\
 \left \{ {{ x-y=5} \atop { x+y= 13*31}} \right. \\\\ 
 \left \{ {{x-y=13} \atop { x+y = 5*31}} \right. \\\\
 \left \{ {{ x-y=31} \atop { x+y=13*5}} \right.  
 Решая  , получаем решений
 (1008;1007) \cup (204;199) \cup (84;71) \cup (48;17)

 Для  n= 3 
 (x-y)(x^2+xy+y^2) = 5*13*31 \\
 \left \{ {{ x-y = 1} \atop { x^2+xy+y^2 = 5*13*31}} \right. \\
 \left \{ {{ x-y=5} \atop { x^2+xy+y^2 = 13*31}} \right. \\
 \left \{ {{x-y=13} \atop {x^2+xy+y^2 = 5*31}} \right. \\
 \left \{ {{ x-y = 31} \atop { x^2+y^2+xy = 5*13}} \right. 
 
 Получаем решения 
 x= 14 ; y= 9 
 
Для n \geq 4 \\
, попробуем обосновать, так 
(x-y)(x^3+xy^2+x^2y+y^3) = 5*13*31 \\\\
x-y=1\\ 
(2y+1)(2y^2+2y+1) = 2015 \\\\
x-y=5\\
 (2y+5)(2y^2+10y+25) =13*31 \\\\
 x-y=13\\
 (2y+13)(2y^2+26y+169) = 5*31 \\
 \\
 x-y=31\\
 (2y+31)(2y^2+62y+961)=5*13\\\
 
 
 
 
 Так же и для других сочетаний, и мы можем легко убедиться что нет  целых решений, решая  уравнения 
 В уравнений     
 x^5-y^5 = (x-y)(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)=1*13*5*31 \\
 x^6-y^6 = (x-y)(x*(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)+y^5) = 1*13*5*31 \\
 ...\\ 
 
 
 
 Можно итерационно заметить что 
 Уравнения,   при n=2x+1 
 \frac{x^n-y^n}{x-y} = 5*31решения в действительных числа 
  
 А при меньших числах, не имеет в целых числах
Ссылка на источник решения(решение не мое, поэтому правильность решения не гарантирую)
znanija.com/task/12668140
20.08.15
Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров
Рейтинг: 4035 410
Эксперт месяца
Читать ответы

Андрей Андреевич
Рейтинг: 483 583
2-й в Учебе и науке
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan
Рейтинг: 245 036
3-й в Учебе и науке
Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Пользуйтесь нашим приложением Доступно на Google Play Загрузите в App Store
  • карты visa
  • карты master card
  • карты maestro
  • карты МИР
Мы используем файлы cookie. Пользуясь сайтом, вы принимаете условия нашего соглашения. Принять Детальнее