Рассмотрение дела судом по существу начинается только после представления органом опеки и попечительства акта обследования его сотрудниками жилищных - вопрос №1963643

Не хотелось бы огорчать, но шансы малы. Как понимается апелляционную жалобу Вы подали и получили отказ. А это означает, что у Вас остается право на кассационную и надзорные жалобы. И если судом не были допущены существенные нарушения при рассмотрении дела, то решение оставят без изменения. А исходя из информации изложенной в вопросе существенные нарушения судом допущены не были.
Вы сами изначально совершили ошибки:
1. Иск следовало подавать не на ограничение, а сразу на лишение родительских прав.
2. До обращения в суд следовало обратиться в орган опеки и попечительства, и иск подавать уже с готовым заключением.
Многие родители ошибаются полагая, что ограничить легче чем лишить родительских прав.
Но это не так.
Для ограничения в родительских правах главное, необходимое условие, общение и оставление с родителем должно представлять для ребенка реальную опасность.
Подтверждением такой опасности является психическое заболевание родителя или совершение преступления в отношении самого ребенка.
В реалии, инициаторами таких исков являются сами органы опеки и попечительства.
Тогда как у Вас был реальный шанс лишить родительских прав (задолженность по алиментам, неучастие в жизни и воспитании ребенка, совершение преступления).
Что касается обследования и прочего, — это не существенно. Обследование можно было провести и в рамках рассмотрения дела, подав соответствующее ходатайство. А страхи детей должны быть обоснованы реальной угрозой со стороны родителя. Согласитесь, что дети так же боятся и вымышленных персонажей, — Бабы-Яги, Серого Волка и др.
Совет: выждите удобного случая (образования задолженности по алиментам) и подавайте заявление именно о лишении родительских прав с учетом ранее допущенных ошибок.