1. К плоскости прямоугольника в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Можно ли утверждать, что произвольная точка М этого - вопрос №2436077

1. Можно это утверждать:
Пусть дан прямоугольник АВСД и О точка пересечения его диагоналей. Тогда АО=ОС, ВО=ОД.
ОМ перпендикуляр к плоскости прямоугольника. 
В треугольнике АСМ ОМ является и высотой, и медианой. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, АМ=МС. Аналогично, для треугольника ВДМ получаем ВМ=МД. 
Кроме того, так как диагонали прямоугольника равна, то равна и все половины диагоналей АО=ВО=СО=ДО, и следовательно, прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ, СОМ, ДОМ равны по двум катетам. Таким образом, точка М равноудалена то вершин прямоугольника АВСД.

2. На перпендикулярах к плоскости прямоугольника, проходящем через точку пересечения диагоналей. Рассуждения доказательства см.выше

Если не получится чертеж, напишите, помогу