Найдите S треугольника, 2 стороны которого равны 16 и 22, а медиана, проходящая между ними, равна 10. - вопрос №2572635

Если АВС — исходный треугольник, в котором АВ=16, ВС=22, ВD=10, ВD — медиана, то 
S_ABC = S_ABD +S_BDC.  Пусть  AD=x,  тогда по формуле Герона
S_ABC^2  = p*(p-16)*(p-22)*(p-2*x),  где p = 1/2*(16+22+2*x) = 8+11+x,
S_ABC^2  = (8+11+x)*(11+x-8)*(8+x-11)*(8+11-x) = (19+x)*(x+3)*(x-3)*(19-x) = (361-x^2)*(x^2-9).

S_ABC  = S_ABD + S_BCD,

S_ABD^2  = p*(p-16)*(p-10)*(p-x),  где p = 1/2*(16+10+x) = 8+5+x/2,
S_ABD^2  = (8+5+x/2)*(5+x/2-8)*(8+x/2-5)*(8+5-x/2) = (13+x/2)*(x/2-3)*(3+x/2)*(13-x/2) = (169-x^2/4)*(x^2/4-9).

S_BCD^2  = p*(p-22)*(p-10)*(p-x),  где p = 1/2*(22+10+x) = 11+5+x/2,
S_BCD^2  = (11+5+x/2)*(5+x/2-11)*(11+x/2-5)*(11+5-x/2) = (16+x/2)*(x/2-6)*(6+x/2)*(16-x/2) = (256-x^2/4)*(x^2/4-36).

S_ABC  = S_ABD + S_BCD, поэтому

(361-x^2)*(x^2-9) = ( sqrt(169-x^2/4)*(x^2/4-9) + sqrt(256-x^2/4)*(x^2/4-36) )^2,

откуда x = 3*(корень из 30), и тогда  S_ABC^2  = (361-x^2)*(x^2-9) = (361-270)*(270-9) = 91*261 = 23751,
Ответ: S = корень из 23751.