Какой цифрой заканчивается сумма? - вопрос №2840234

Какой цифрой заканчивается сумма 12+12^2+12^3+12^4+...+12^30+12^31+12^32+12^33 ?

1)  Каждое k-ое слагаемое суммы представляет собой k-ую степень числа 12. Это означает, что последняя цифра 2 у k-го слагаемого будет умножаться само на себя k раз и в итоге определит последнюю цифру этого слагаемого. Итак последняя цифра степени 2^k задает последнюю цифру k-го слагаемого.

Степени 2^k оканчиваются на цифры: 2, 4, 8 и 6. Построим таблицу:

                   |      2  |   4   |    8    |  6  ←  Окончания 2^k

_________________________________________________________

Степень k  |     1   |   2    |     3   | 4  => 12+12^2+12^3+12^4 => послед. цифра — 0

Степень k  |     5   |   6    |     7   | 8  => 12^5+12^6+12^7+12^8=> послед.цифра — 0

Степень k  |     9   |  10   |    11  | 12=> 12^9+12^10+12^11+12^12=>посл.цифра — 0

…………………………………………………………………….

Степень k  |   29   |  30  |    31   | 32=> 12^29+12^30+12^31+12^32=>посл.цифра — 0

Степень k  |   33   |         |          |     

 __________________________________                           

                     4n-3  | 4n-2 | 4n-1 | 4n – общая формула данной степени k

2)   Итак, получили: каждая четверка слагаемых, начиная с 1-го, дает сумму с нулем в конце, т.к. 2+4+8+6=20 => последн. цифра – 0.

3)   В итоге получили, что последняя цифра числа S – это последняя цифра числа 12^33

Определим, какого вида степень 33

 33 = 36 – 3 = 4 ∙ 9 – 3 = |n=9| = 4n – 3. Т.о. число 12^33 оканчивается на ц. 2

Ответ: Сумма оканчивается на ц. 2