Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника. - вопрос №4260911

Так как расстояние от точки до каждой из сторон треугольника одинаково, то проекции перпендикуляров из этой точки на стороны треугольника равны — для доказательства достаточно рассмотреть возникающие прямоугольные треугольники, у них равные гипотенузы и общий катет — перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость треугольника. 

Раз проекции равны, то точка проецируется на плоскость треугольника в центр его вписанной окружности. Он лежит на высоте к основанию треугольника, найдем радиус вписанной окружности.

Нетрудно понять, что основание равнобедренного треугольника равно 12: из треугольников-«половинок» по теореме Пифагора получится, что половина основания равна 6. Площадь треугольника равна 12*8/2=48, а периметр равен 10+10+12=32. Тогда радиус вписанной окружность равен r=S/(P/2)=48/(32/2)=3. Тогда перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость треугольника, оказывается катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 и катетом 3, по теореме Пифагора он равен 4. Это и есть ответ в задаче.