Определите возможные порядки элемента а в кольце F3[a], где а^4= а+2 - вопрос №5039363

Заметим, что данное уравнение можно переписать как a^4 — a — 2 = 0.

Попробуем подставить в него некоторые значения a и посмотреть, как оно будет выполняться в кольце F3[a]:

a = 0: 0^4 — 0 — 2 = 1 (не равно 0) a = 1: 1^4 — 1 — 2 = -2 = 1 (не равно 0) a = 2: 2^4 — 2 — 2 = 12 = 0 (равно 0)

Таким образом, a = 2 является корнем данного уравнения. Далее, можно заметить, что a^5 = a^4 * a = (a + 2) * a = a^2 + 2a = (a + 2) + 2a = 2a + 2.

Из этого следует, что a^5 — (2a + 2) = 0, то есть a^5 = 2a + 2.

Далее, можно заметить, что a^6 = a * a^5 = (2a + 2) * a = 2a^2 + 2a = 2(a^2 + a) = 2(a + 2) = 2a + 1.

Из этого следует, что a^6 — (2a + 1) = 0, то есть a^6 = 2a + 1.

Таким образом, a^6 может быть выражено через линейную комбинацию 1, a и a^2. Следовательно, порядок элемента a в кольце F3[a] может быть равен 1, 2 или 3.

Однако, для проверки фактического порядка элемента a необходимо дополнительно проверить, равен ли a^2, a^3 или a^5 нулю