На листе клетчатой бумаги с размером клетки 1х1 изображён прямоугольник (при этом стороны не обязательно проходят по линиям сетки). - вопрос №5072425

Договоримся называть горизонтальную сторону исходного и каждого из «нарезанных» прямоугольников шириной, а вертикальную сторону соответственно – высотой. Тогда вертикальные прямые задают ширины прямоугольников, а горизонтальные прямые задают высоты прямоугольников.

    Требование – «у каждого маленького прямоугольника длина хотя бы одной его стороны выражается целым числом» – означает, что нецелочисленными сторонами у них могут быть либо только ширины, либо только высоты. Это, в свою очередь, означает, что у исходного прямоугольника нецелочисленные отрезки могут быть лишь на одной из сторон: либо только на ширине, либо только на высоте.

    Действительно:

Рассм. нецелочисленные отрезки на ширине. Найдем какой-нибудь нижний прямоугольник с нецелочисленной шириной. Тогда все прямоугольники, лежащие непосредственно над ним, также имеют нецелочисленную ширину. Но тогда в соответствии с вышеуказанным требованием их высоты должны быть целочисленными в обязательном порядке => а это означает, что горизонтальные прямые задают только целочисленные высоты прямоугольников =>  высота исходного прямоугольника является целым числом.

Аналогично и для нецелочисленных отрезков по высоте.

Вывод: длина хотя бы одной стороны исходного прямоугольника также является целым числом.