Задача по геометрии за 10 класс. - вопрос №5078679

Обозначим через a и b длины оснований трапеции AB и CD соответственно. Тогда из условия AB ⊥ AD следует, что AB является высотой трапеции, а из условия AB ⊥ BC следует, что BC является основанием прямоугольного треугольника ABO, где OB — центр вписанной окружности. Значит, AO=BO=AB/2. Для начала найдем длину основания b. Заметим, что поскольку AB является высотой, то в прямоугольном треугольнике $ABO$ верно AB^2+AO^2=BO^2, то есть AB/2}^2+AB^2= AB/2^2+(b-AB)^2. Отсюда получаем уравнение 4AB^2=4b^2-4b * AB, или 4AB(b+AB)=4b^2, или AB(b+AB)=b^2. Так как b=AD+BC=30+20=50, то AB(50+AB)=2500, откуда AB^2+50AB-2500=0 э, и AB=40 (отрицательное решение не подходит). Заметим, что точка M лежит на прямой $AO$, так как OM является высотой трапеции ABCD. Так как AO=AB/2=20, то осталось найти расстояние MH от точки M до основания трапеции AD. Для этого заметим, что треугольник AMH подобен треугольнику ABD, так как оба треугольника прямоугольные и имеют общий угол при вершине $A$. Значит, MH/AD=AB /AB+CD, или $\frac{MH}{30}=40/40+c, где c=CD=AB-2. Подставляя $c=38$ (так как $AB=40$), получаем MH / 30=20 / 39, откуда MH= 600 /39 ≈ 15,4$. Итак, расстояние от точки э M до основания трапеции равно 600/39 ≈ 15,4 см.