Параллельно оси цилиндра проведено сечение, диагональ которого равна 8см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно 3 см. - вопрос №5485876

Давайте розглянемо геометричну ситуацію. У нас є циліндр, у основі якого лежить коло, а його бічна поверхня — прямокутний паралелепіпед.

1. Спочатку знайдемо висоту прямокутного паралелепіпеда. Відстань від осі циліндра до площини перетину дорівнює 3 см, а діагональ перетину (або діаметр основи циліндра) дорівнює 8 см. Оскільки кут між діагоналлю і площиною основи складає 60°, ми можемо використовувати тригонометрію для знаходження висоти прямокутного паралелепіпеда.

2. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутного паралелепіпеда, оскільки вони рівні за величиною.

3. Площа основи циліндра дорівнює площі кола.

Тепер розглянемо докладніше:

1. Висоту прямокутного паралелепіпеда ℎh можна знайти за допомогою тригонометрії. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:

ℎ2=(8 см)2−(3 см)2h2=(8см)2−(3см)2

ℎ2=64 см2−9 см2h2=64см2−9см2

ℎ2=55 см2h2=55см2

ℎ=55 смh=55​см

1. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутного паралелепіпеда:

𝑆бок=2⋅площа основи⋅висотаSбок​=2⋅площа основи⋅висота

𝑆бок=2⋅𝜋𝑟ℎSбок​=2⋅πrh

1. Площа основи циліндра 𝑆оснSосн​ дорівнює площі кола:

𝑆осн=𝜋𝑟2Sосн​=πr2

Тепер ми можемо знайти площу повної поверхні циліндра 𝑆повнSповн​, склавши площі бічної поверхні та двох основ:

𝑆повн=2𝑆бок+𝑆оснSповн​=2Sбок​+Sосн​

𝑆повн=2⋅2𝜋𝑟ℎ+𝜋𝑟2Sповн​=2⋅2πrh+πr2

𝑆повн=4𝜋𝑟ℎ+𝜋𝑟2Sповн​=4πrh+πr2

Підставимо знайдені значення:

𝑆повн=4𝜋⋅8⋅55+𝜋⋅82Sповн​=4π⋅8⋅55​+π⋅82

𝑆повн=32𝜋55+64𝜋Sповн​=32π55​+64π

Отже, площа повної поверхні циліндра складає 32𝜋55+64𝜋32π55​+64π квадратних сантиметрів.