Исследовать на линейную зависимость систему векторов: e^x, e^-x, e*2x на (-бесконечность; +бесконечность) - вопрос №5485915

Для исследования линейной зависимости системы векторов 𝑒𝑥,𝑒−𝑥,𝑒2𝑥ex,e−x,e2x, мы можем посмотреть, можно ли выразить один из этих векторов как линейную комбинацию других. Для этого попробуем найти такие коэффициенты 𝑎a, 𝑏b и 𝑐c, что:

𝑎𝑒𝑥+𝑏𝑒−𝑥+𝑐𝑒2𝑥=0aex+be−x+ce2x=0

aex+be−x+ce2x=0

Теперь возьмем производные по 𝑥x от обеих сторон этого уравнения:

𝑎𝑒𝑥−𝑏𝑒−𝑥+2𝑐𝑒2𝑥=0aex−be−x+2ce2x=0 𝑎𝑒𝑥−𝑏𝑒−𝑥+2𝑐𝑒2𝑥=0aex−be−x+2ce2x=0

Теперь у нас есть система уравнений:

𝑎𝑒𝑥+𝑏𝑒−𝑥+𝑐𝑒2𝑥=0aex+be−x+ce2x=0 𝑎𝑒𝑥−𝑏𝑒−𝑥+2𝑐𝑒2𝑥=0aex−be−x+2ce2x=0 𝑎𝑒𝑥−𝑏𝑒−𝑥+2𝑐𝑒2𝑥=0aex−be−x+2ce2x=0

Решим эту систему:

𝑎+𝑏+𝑐𝑒3𝑥=0a+b+ce3x=0 𝑎−𝑏+2𝑐𝑒3𝑥=0a−b+2ce3x=0 𝑎−𝑏+2𝑐𝑒3𝑥=0a−b+2ce3x=0

Чтобы решить эту систему, давайте рассмотрим первые два уравнения:

𝑎+𝑏+𝑐𝑒3𝑥=0a+b+ce3x=0 𝑎−𝑏+2𝑐𝑒3𝑥=0a−b+2ce3x=0

Вычтем из второго уравнения первое:

(𝑎+𝑏+𝑐𝑒3𝑥)−(𝑎−𝑏+2𝑐𝑒3𝑥)=0(a+b+ce3x)−(a−b+2ce3x)=0

𝑎+𝑏+𝑐𝑒3𝑥−𝑎+𝑏−2𝑐𝑒3𝑥=0a+b+ce3x−a+b−2ce3x=0

2𝑏−3𝑐𝑒3𝑥=02b−3ce3x=0

2𝑏=3𝑐𝑒3𝑥2b=3ce3x

𝑏=3𝑐2𝑒3𝑥b=23c​e3x

Теперь подставим это значение 𝑏b в первое уравнение:

𝑎+3𝑐2𝑒3𝑥+𝑐𝑒3𝑥=0a+23c​e3x+ce3x=0

𝑎+5𝑐2𝑒3𝑥=0a+25c​e3x=0

𝑎=−5𝑐2𝑒3𝑥a=−25c​e3x

Теперь у нас есть выражения для 𝑎a и 𝑏b через 𝑐c:

𝑎=−5𝑐2𝑒3𝑥a=−25c​e3x 𝑏=3𝑐2𝑒3𝑥b=23c​e3x

Теперь подставим эти значения 𝑎a и 𝑏b в третье уравнение:

−5𝑐2𝑒3𝑥−3𝑐2𝑒3𝑥+2𝑐𝑒3𝑥=0−25c​e3x−23c​e3x+2ce3x=0

−8𝑐2𝑒3𝑥+2𝑐𝑒3𝑥=0−28c​e3x+2ce3x=0

−4𝑐𝑒3𝑥+2𝑐𝑒3𝑥=0−4ce3x+2ce3x=0

−2𝑐𝑒3𝑥=0−2ce3x=0

𝑐=0c=0

Таким образом, получаем, что 𝑐=0c=0. Подставим этот результат в выражения для 𝑎a и 𝑏b:

𝑎=−5𝑐2𝑒3𝑥=0a=−25c​e3x=0 𝑏=3𝑐2𝑒3𝑥=0b=23c​e3x=0

Таким образом, для того чтобы система имела нетривиальное решение, все коэффициенты 𝑎a, 𝑏b и 𝑐c должны быть равны нулю. Это значит, что система векторов 𝑒𝑥,𝑒−𝑥,𝑒2𝑥ex,e−x,e2x линейно независима.