ПОЖАЛУЙСТА!!!ПОМОГИТЕ!!! - вопрос №42437

Здравствуйте, link!

y'+2*x*y=2*x*exp(-x^2/2).

Задание б), наверное, звучит так: б) методом подстановки проверить, будет ли решение удовлетворять данному уравнению.

Так и понимаем!

Решение.

а) Найдем общее решение однородного уравнения y'+2*x*y=0. Это уравнение с разделяющими переменными. Разделяем переменные: dy/dx=-2*x*y -> dy/y=-2*x*dx.

Теперь интегрируем обе части уравнения (неопределенный интеграл): ln y=-x^2+ln C, где C — произвольная постоянная. Можно записать решение y=C*exp(-x^2) (формула 1).

Считаем теперь, что величина С является функцией от переменной x. Находим

y'=C'*exp(-x^2)-C*2*x*exp(-x^2).

Подставляем это в исходное уравнение.

 C'*exp(-x^2)-C*2*x*exp(-x^2)+2*x*C*exp(-x^2)=2*x*exp(-x^2/2).

После сокращения второго и третьего членов в левой части, получим уравнение для определения функции C(x):  C'*exp(-x^2)=2*x*exp(-x^2/2) -> C'=2*x*exp(x^2/2), откуда получим C(x), взятием неопределенного интеграла от обеих частей уравнения. В левой части получим C(x), а в правой части под интегралом будет: 2*exp(x^2/2)*d(x^2/2), что дает табличный вариант: C(x)=2*exp(x^2/2)+A, где A — произвольная постоянная.

Подставляя теперь полученную функцию C(x) в формулу 1, вместо C, получим общее решение уравнения.

y=C(x)*exp(-x^2)=2*exp(-x^2/2)+A*exp(-x^2).

б) Находим теперь производную этой функции y'=-2*x*exp(-x^2/2)-2*A*x*exp(-x^2).

Подставляя в левую часть исходного уравнения вместо функции y(x) и y'(x) соответствующие выражения, получим: 

-2*x*exp(-x^2/2)-2*A*x*exp(-x^2)+4*x*exp(-x^2/2)+2*A*x*exp(-x^2),

После сокращения второго и четвертого членов и приведения подобных членов, получим как раз правую часть уравнения: 2*x*exp(-x^2/2). 

Итак, левая часть равна правой. Значит полученная функция является общим решением уравнения.

P.S. Данное уравнение можно решать и другим образом: ищем решение исходного уравнения в виде: y(x)=u(x)*v(x), т.е. нужно определить функции u(x) и v(x). Найдем производную функции y(x) и подставим все в уравнение: y'=u'*v+u*v' -> 

u'*v+u*v'+2*x*u*v=2*x*exp(-x^2/2) -> u(v'+2*x*v)+u'*v=2*x*exp(-x^2/2).

Выбираем теперь функцию v(x) так, чтобы v'+2*x*v=0. Отсюда находим (разделяя переменные) v(x)=exp(-x^2). Теперь, зная функцию получим из уравнения

u'*exp(-x^2)=2*x*exp(-x^2/2) -> u'=2*x*exp(x^2/2), откуда  u=2*exp(x^2/2)+C. 

Итак, получим: y(x)=u(x)*v(x)=2*exp(-x^2/2)+C*exp(-x^2).

Фактически этот метод эквивалентен методу вариации произвольной постоянной.

С уважением, выходите в чат.

Удачи!