производная - вопрос №52350

Геометрическое место точек, равноудалённых от данной есть окружность с центром в этой точке — O (5,3) середине отрезка АВ. Расстояние между точками А и В = корень квадратный из (36+4)=2 корня из десяти. Радиус окружности, построенной на отрезке АВ как на диаметре, очевидно, равен половине — корню квадратному из 10.

Пусть X (x,0) — искомая точка. Сумма квадратов расстояний AX^2+BX^2=(x-2)^2+(8-x)^2+2^2+4^2. Эта сумма минимальна при условии минимума функции y=(x^2-4x+4)+64-16x+x^2=2x^2-20x+68. После деления на 2 имеем x^2-10x+34. Абсцисса точки полюса параболы x0=10/2=5. Найдём сумму квадратов расстояний — 3^2+3^2+20=38.

Понятно, что окружность с центром в точке Q с координатами (5, z) будет касаться оси Ох в точке (5,0). Её радиус, очевидно, будет равен z=корень квадратный из 19. Но тот факт, что z необязательно находить, хотя по трём точкам (5,0), (2,4) и (8,2) легко составить уравнения (5-2)^2+(z-4)^2=(8-5)^2+(2-z)^2 и найти 4-z=z-2, то есть z=3.

Проверкой можно убедиться, что 3 не равно корню квадратному из 19. Но это противоречие кажущееся. Ведь треугольник, построенный на трёх точках окружности является прямоугольным, когда две из этих точек принадлежат одному диаметру.