решить с помощью сведения к однородному 3cos x+4sin x=5 - вопрос №1312381

4 sinx+3 cosx=5;

4 ·2 sin(x/2)cos(x/2)+3(cos2 (x/2)-sin2 (x/2))-5(cos2 (x/2)+sin2 (x/2))=0;

8 sin(x/2)cos(x/2)-2 cos2 (x/2)-8 sin2 (x/2)=0;

т.к. sin и cos одного и того же угла одновременно не могут быть равны 0, то поделив обе части уравнения на cos2(x/2) не равное 0 имеем:

4 tg2 (x/2)-4 tg(x/2)+1=0;

Пусть tg(x/2)=t, где t Є R, тогда

4 t2 -4t +1=0;

(2t-1)2 =0;

t=1/2.

Если t=1/2, то tg(x/2)=1/2;

х=2 arctg (1/2)+2n, где n Є Z.

Ответ: 2 arctg(1/2) +2n, где n Є Z.

введением нового аргумента:

4 sinx+3 cox=5;

а2 +в2 =25;

(4/5) sinx + (3/5) cox=1;

т.к. (4/5)2 +(3/5)2 =1, то (4/5)= sin и (3/5)=cos, где 0<< (/2). Тогда имеем:

sinsin x+ coscox=1;

cos (x -)=1;

x -=2n, где n Є Z

x = +2n, где n Є >Z

x=arccos (3/5)+ 2n, где n ЄZ.
3) 

используя формулы универсальной подстановки.

4 sinx+3 cosx=5;

8 tg2 (x/2)-8 tg(x/2)+2=0;

Пусть tg(x/2)=t, где t Є R, тогда

4 t2 -4t +1=0;

(2t-1)2 =0;

t=1/2.

Если t=1/2, то tg(x/2)=1/2;

х=2 arctg (1/2) +2n, где n Є Z.

Проверка: если х=, то

4sin+2k)+cos(+2k)=-3, -3 не равно5, значит, х=  +2k не является решением данного уравнения.

Ответ: 2 arctg (1/2) +2n, где n Є Z.

P. S. Оцените пожалуйста ответ