Математический тест содержит 16 вопросов. К каждому вопросу предлагаются два варианта ответа — А и В. Если выбрать любые 8 вопросов и дать на них - вопрос №1790603

Пусть х – количество вопросов с правильным ответом В.
Найдем, при каких значениях х должно выполняться условие:
если мы на любые n вопросов дадим ответ А, на остальные n – ответ В, то получим как минимум (n – 1) правильных ответов.

Итак, х – количество вопросов с правильным ответом В.
Если x <= 1, то как бы мы не распределяли ответы, всегда на вопросы с верным ответом А будет как минимум (n – 1) ответов А.
Если x => 2n — 1, то как бы мы не распределяли ответы, всегда на вопросы с верным ответом В будет как минимум (n – 1) ответов В.
То есть для значений 1 <= x и x >= 2n – 1 условие выполняется.

Ниже докажем, что для любого x, такого что 1 < x < 2n – 1, условие не выполняется.
А сначала посчитаем количество различных списков

Условие задачи выполняется только в том случае, если число вариантов ответов В равно 0 или 1 или 2n – 1 или 2n
Если число вариантов ответов В равно 0 или 2n, таких вариантов списков вопросов всего 2: все ответы А или все ответы В
Если число вариантов ответов В равно 1 или 2n – 1, таких вариантов списков вопросов всего 2n + 2n: один ответ А, все остальные В или наоборот

Значит ответ: 1 + 1 + 2n + 2n = 4n + 2 различных вариантов списков.
Для данной задачи n = 8
Ответ: 34

Теперь покажем, что для любого x, такого что 1 < x < 2n – 1, условие задачи не выполняется.

Сначала мы должны по условию дать n ответов А.
Вопросы будем выбирать так.
Сначала дадим на максимально возможное количество вопросов с верным ответом В ответ А.
Два варианта:
1. Мы дали на все вопросы с верным ответом В ответ А и остались только вопросы с верным ответом А.
Значит, на вопросы с верным ответом В не было дано ни одного верного ответа.
А на вопросы с верным ответом А было дано (n – x) ответов А, 1 < x <= n
1 < x <= n
-1 > -x >= -n
n – 1 > n – x >= 0
То на вопросы с верным ответом А было дано меньше, чем (n – 1) верных ответов
Всего верных ответов оказалось меньше (n – 1)

2. Мы дали на все вопросы с верным ответом В ответ А и еще остались вопросы с верным ответом В.
Значит, на все вопросы с верным ответом А мы дадим ответ В.
А на вопросы с верным ответом В мы дадим (x – n) ответов В, n < x < 2n -1
n < x < 2n -1
0 < x — n < n -1
То есть на вопросы с верным ответом В мы дали меньше, чем (n – 1) ответов В
Верных ответов оказалось меньше (n – 1)