Задание ЕГЭ)))C4 - вопрос №80839

Оба предыдущих решения основаны на предположении, что угол, образованный лучами, исходящими из центра искомой окружности, и преследующими центры исходных окружностей, является прямым. Однако, здесь это условие не выполняется.

Если клиент добрался до уровня С, то здесь надо лишь показать установку. Задача сводится к трем трапециям с прямым углом при основании. Первая трапеция, образуется радиусами, опущенными из центров исходных окружностей, прямой соединяющей центры и отрезком касательной. Она позволяет вычислить длину l касательной:

l^2 = 15^2 -(8-2)^2 = 225 — 36 =189.

Отрезок касательной разбивается на два отрезка

l = l1 + l2,

каждый из которых также является боковой стороной трапеции,  на радиусах искомой окружности и одной из заданных, что дает возможность таким же образом связать боковую грань длиной l1 или l2 с радиусом искомой окружности. Тогда складывая длины двух отрезков, получается уравнение и решение оказывается действительно рациональным числом. 

(2+x)^2+(8+x)^2=15^2

отсюда радиус R = x = (sqrt(5*79)-9)/2

Если изобразить эти окружности и касательную, проходящую между ними и касающуюся обеих этих окружностей, то становится понятным, что:

— искомая окружность касается малой окружности в точке, общей с касательной, а ее центр лежит на перпендикуляре к касательной в этой точке,

— искомая окружность касается большой окружности в точке, лежащей на прямой, соединяющей их центры.

Из прямоугольного треугольника, который соединяет центры этих трех окружностей можно записать, согласно теореме Пифагора:

(r+r1)^2 + (r+r2)^2 = d^2,

где r — радиус искомой окружности, r1 — радиус малой окружности, r2 — радиус большой окружности, d — расстояние между их центрами.

Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение:

r^2 +2r(r1+r2) + (r1^2+r^2-d^2)=0

Подставив в него исходные данные, получим:

2*r^2 + 20r — 157 =0

Его решение:

r=-5 ±(корень(100+2*157))/2 = -5 ±(корень(414)/2

r1=5,173...  r2= -15,173...

Положительное решение: hflbec jrhe;yjcnb r=5,173..

Проверка: (5,173+2)^2+(5,173+8)^2=51,45+173,53=224,98, что в пределах точности вычислений совпадает с 15^2=225