Расстояние от точки до фигуры - вопрос №133209

          Для рассматриваемой кривой (фигуры):

                                                          xy= 1                                               (1)

точка  A  с координатами  (1, 1) — ближайшая в заданной метрике к рассматриваемой точке  O(0, 0). Чтобы убедиться в этом, достаточно через эту точку  A(1, 1)  провести прямую:

                                            x + y = 1                                           (2)

          Нетрудно тогда видеть, что в первой четверти плоскости  R2 (где (1) определена и наиболее близка к точке  O(0, 0))  все точки прямой  x+y=1  (2)равноудалены (в рассматриваемой метрике!) от точки  O(0, 0). При этом прямая (2) лишь в единственной точке  A(1, 1)  касается рассматриваемой кривой (фигуры)  xy=1  (1).

         Все остальные точки кривой (1), находясь по другую сторону, чем точка  O(0, 0), от прямой (2), являются, тем самым, более удаленными от точки O, чем точки прямой  x+y=1  (2).

         То есть, доказано, что точка A(1, 1) – ближайшая к точке O(0, 0), т.е реализует заданную метрику при определении расстояния между точкой  O  и кривой (1).

         И, наконец, в соответствии с определением рассматриваемой метрики, находим расстояние от точки  O(0, 0)  до точки  A(1, 1) – т.е. искомое расстояние  ρ  от точки  O  до кривой (фигуры)  xy=1:

                     ρ = |xA— xO| + |yA– yO| = |1 – 0| + |1 – 0| = 2