Найти наибольшее значение - вопрос №138880

находим производную y'=-4sinX-21/п

Находим эстремум приравняв производную к нулю

-4sinX-21/п=0=> решений у данного уранвения нет, начит нет и экстремума (минимального или максимального значения), это еще видно из того что функция переодическая.

на отрезке от -2п/3 до 0 найдем максимальное значение подставив границы этих чисел в заданное выражение

y=4сos(-2п/3)-21/п*(-2п/3)+9=10,19

y=4сos(0)-21/п*(0)+9=13

т.е. на данном отрезке максимум будет в точке 0

            Небольшая корректировка представленного выше решения:

           1) Совершенно нет необходимости, ища максимум функции на отрезке, подставлять оба граничных значения (-2π/3 и 0) в выражение для целевой функции и выбирать затем, какое из полученных значений наибольшее. Этот вопрос решается, по сути, раньше — на стадии анализа выражения для производной.

          Главное по смыслу здесь не то, что уравнение

                                        -4sinX-21/π=0

не имеет решений, а то, что производная (т.е. левая часть этого уравнения):

                                           y'=-4sinX — 21/π

строго отрицательна при любых  x  (в силу того, что первая составляющая производной  -4sinX  не превосходит по модулю числа  4  (т.к.  |sinX|  не превосходит числа  1), а вторая  -21/п  много меньше  -4).

           Ну а строгая отрицательность производной какой бы то ни было функции на данном отрезке попросту означает, что эта функция строго убывающая, откуда немедленно следует, что максимальное её значение принимается на левой (меньшей) границе заданного отрезка — т.е., в данном случае, в точке  x=-2п/3.

            Поэтому для получения наибольшего значения в выражение для исходной функции достаточно подставить лишь одно, это значение (второе значение  x=0  заведомо даст более низкое значение целевой функции).

         2) Не очень понятен смысл фразы: "… это еще видно из того что функция переодическая."

          Что «это» видно?  Во-первых, периодической здесь является не исходная функция, а её производная. А во-вторых, из того факта, что функция периодическая, отнюдь не следует отсутствие у неё точек экстремума. А если же здесь имелось в виду другое — пояснение утверждения "… решений у данного уранвения нет", — то и это никак со свойством периодичности не связано.

         Случайно увидел, что приведенное мною выше утверждение "…второе значение  x=0  заведомо даст более низкое значение целевой функции" входит в прямое противоречие с решением (и ответом!) автора первого решении (Юлии). Проверил (просчитал) и по приведенному значению  10.19   функции в точке  x=-2п/3 понял, что в том решении допущена простая техническая ошибка – при расчете искомого значения:

            y = 4cos(x) – (21/π)·x+ 9 =

                         = 4сos(-2π/3)-(21/π)·(-2π/3)+9=4(-1/2) + 14 + 9 = 21

переменная  x  (и соответствующее значение  x=-2п/3) во втором слагаемом случайно попало в знаменатель (вместо числителя), что в итоге вместо вышеприведенного правильного значения 21  дало величину  10.19  (округленно). И, как следствие, при выборе автором из двух граничных значений наибольшего значения результат оказался неверным.

         На этой технической ошибке не стоило бы останавливаться, если бы она не была достаточно поучительной. Ведь если бы автор первого решения помнила в ходе решения (как отмечено в представленной выше корректировке её решения), что производная здесь не просто не имеет корней, а имеет на всем отрезке  [-2π/3, 0]  строго один знак (отрицательный) и, значит, целевая функция строго монотонна (убывающая), то тогда полученный ею заведомо некорректный факт большего значения функции на правом конце нашего отрезка  [-2π/3, 0], чем на левом,  просто бы «резал глаз», насторожил и, конечно же, позволил бы тогда легко обнаружить сделанную техническую ошибку.

         Тем самым, допущенная в том решении ошибка иллюстрирует тот факт, что приведенная выше корректировка исходного решения (предлагающая по существу лишь не забывать очевидную взаимосвязь свойства возрастания-убывания функции со знаком её производной) не просто сокращает количество необходимых вычислений, но обеспечивает более точную, простую и эффективную логику решения подобных задач.