Доказать, что существует бесконечное число квадратных чисел выражения 50^m-50^n, но нет квадратного числа вида 2020^m-2020^n - вопрос №3568129

Привет, Юля!
1. Про 50^m, Пусть n=2k; m=2k+1 Тогда 50^m-50^n=50^(2k)*(50-1)=(7*50^k)^2 =квадрат 7*50^k. к — любое
2 про 2020^m
пусть как и раньше п=четное число. Тогда 2020^m-2020^n=2020^n*(2020^(м-п) -1)
Первая скобка — квадрат. Надо чтобы и вторая скобка было квадратом числа. Возможно ли это?
если м-п=1, то вторая скобка 2019 — это не квадрат.
если м-п>1, то вторая скобка кончается цифрами 99. можно доказать, что квадрат числа может кончатся ьтолько числом 09, 29, 49,69,89, но не 99. зНАчит при четном п квадрат числа не получается.
Пусть теперь п нечетное число. Тогда Т2020^m-2020^n=2020^(четное)*[2020*(2020^(м-п) -1)]
Первое число — это увадрат. То что стоит в у4вадратных скобках тогда тоже должно быть квадратом.
НО оно состоит из двух сомножителей. Первый 2020= 2*2*5*101 имеет в разложении одну пятерку, второй кончается цмфрой 9 и на 5 точно не делится. Значит квадратные скобки не могут быть квадратом.
зНАчит при нечетном п квадрат числа тоже не получается. Не повезло. Но задача решена